1°  a)  ${\displaystyle 1+z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4}={\frac {1-z_{0}^{5}}{1-z_{0}}}={\frac {0}{1-z_{0}}}=0}$ donc ${\displaystyle \alpha \beta =\alpha +\beta =-1}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont les deux solutions de l'équation [1].

b)  ${\displaystyle z_{0}^{4}=z_{0}^{-1}={\overline {z_{0}}}}$ donc ${\displaystyle \alpha =2\cos {\frac {2\pi }{5}}}$.

c)  Les deux solutions de [1] (de signes contraires) sont ${\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$, or ${\displaystyle 0<{\frac {2\pi }{5}}<{\frac {\pi }{2}}}$, donc ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$.

2°  a)  ${\displaystyle \operatorname {Re} \left(A_{1}\right)=\operatorname {Re} \left(A_{4}\right)=\cos {\frac {2\pi }{5}}}$.

b)  Les affixes de ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont les solutions de [1] car ${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=\left|\mathrm {i} +{\frac {1}{2}}\right|^{2}\Leftrightarrow x^{2}+x+{\frac {1}{4}}={\frac {5}{4}}}$. Ce sont donc bien ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ et d'après a) et 1° b), ${\displaystyle H}$ est le milieu de ${\displaystyle [OM]}$.

c)  Tracer le cercle de centre ${\displaystyle O}$ et de rayon ${\displaystyle [OA_{0}]}$.

Construire le milieu ${\displaystyle \Omega }$ du rayon opposé, et une extrémité ${\displaystyle I}$ du diamètre perpendiculaire.

Tracer (partiellement) un second cercle, de centre ${\displaystyle \Omega }$ et passant par ${\displaystyle I}$, et noter ${\displaystyle M}$ son intersection avec la demi-droite ${\displaystyle [OA)}$.

Construire les intersections ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{4}}$ du premier cercle avec la médiatrice de ${\displaystyle [OM]}$.

Placer ${\displaystyle A_{2}}$ et ${\displaystyle A_{3}}$ sur ce cercle, en reportant la longueur ${\displaystyle A_{0}A_{1}=A_{0}A_{4}}$ à partir des points ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{4}}$.