Un exemple de fonction complexe est

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&z_{1}&\mapsto &3z_{1}+2\end{array}}}$.

Pour tout complexe ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle f(z_{1})}$ est le complexe ${\displaystyle z_{2}=3z_{1}+2}$.

L'ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des éléments de l’ensemble de départ possédant une image.

Soit ${\displaystyle f(z)={\frac {3z+1-8\mathrm {i} }{-2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z}}}$.

Soit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. La fonction ${\displaystyle f}$ est définie au point ${\displaystyle z}$ si et seulement si son dénominateur ${\displaystyle -2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z}$ est différent de zéro.

On résout l'équation ${\displaystyle -2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z=0}$ et les solutions seront les points à exclure de l’ensemble de définition.

${\displaystyle {\begin{aligned}-2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z=0&\Leftrightarrow 2\mathrm {i} z=2-3\mathrm {i} \\&\Leftrightarrow z={\frac {2-3\mathrm {i} }{2\mathrm {i} }}\\&\Leftrightarrow z=-\mathrm {i} -{\frac {3}{2}}.\end{aligned}}}$

L'ensemble de définition de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left\{-\mathrm {i} -{\frac {3}{2}}\right\}}$.

Déterminer les ensembles de points M tels que :

• ${\displaystyle z=6}$. On a ${\displaystyle \|{\overrightarrow {OM}}\|=6}$ (d'après Module d’un nombre complexe).
  L'ensemble cherché est formé des points M tels que ${\displaystyle OM=6}$ ;
  c'est donc le cercle de centre O et de rayon 6.
• ${\displaystyle |z+2-3\mathrm {i} |\leq 3}$. de la même manière, ${\displaystyle |z-(-2+3\mathrm {i} )|\leq 3}$.
  L'ensemble cherché est le disque de centre A d'affixe ${\displaystyle z_{A}=-2+3\mathrm {i} }$ et de rayon ${\displaystyle 3}$.
• ${\displaystyle |z-2|=|z+\mathrm {i} |}$. On pose ${\displaystyle z_{A}=2}$ et ${\displaystyle z_{B}=-\mathrm {i} }$.
  On a ${\displaystyle |z-z_{A}|=|z-z_{B}|}$ d'où ${\displaystyle AM=BM}$.
  Le point M est équidistant de A et B ; l’ensemble cherché est la médiatrice de ${\displaystyle [AB]}$.

Déterminer les équations des ensembles précédents (paragraphe précédent) :

• ${\displaystyle |z|=6}$. On pose ${\displaystyle z=x+iy}$.

On a ${\displaystyle |x+iy|=6}$, ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=6}$, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=6^{2}}$, donc ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-6^{2}=0}$.
On retrouve bien l'équation d’un cercle de centre O et de rayon 6.

• ${\displaystyle |z+2-3i|\leq 3}$ de la même manière, on pose ${\displaystyle z=x+iy}$.

On a ${\displaystyle |(x+2)+i(y-3)|\leq 3}$, ${\displaystyle (x+2)^{2}+(y-3)^{2}\leq 3^{2}}$
L'ensemble cherché est bien le disque de centre ${\displaystyle A(-2,3)}$ et de rayon 3.

• ${\displaystyle |z-2|=|z+i|}$, on pose ${\displaystyle z=x+iy}$.

On a ${\displaystyle |(x-2)+iy|=|x+i(y+1)|}$
${\displaystyle {\sqrt {(x-2)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}}}}$ d'où ${\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}}$
On développe, d'où ${\displaystyle x^{2}-4x+4+y^{2}=x^{2}+y^{2}+2y+1}$ et donc ${\displaystyle y=-2x+{\frac {3}{2}}}$.
L'ensemble cherché est la droite d'équation ${\displaystyle y=-2x+{\frac {3}{2}}}$