Combinatoire/Combinaisons avec répétition

Comme prévu nous étudierons ici les combinaisons avec répétition. Une combinaison avec répétition peut être vue comme :

un tirage avec remise, sans tenir compte de l’ordre, de k objets parmi n objets ;
une répartition de k objets indiscernables parmi n boîtes discernables pouvant contenir un nombre quelconque d'objets.

Plus formellement, une $k$ -combinaison avec répétition dans un ensemble $E$ est un multiensemble de $k$ éléments de $E$ (donc non ordonnés, mais comptés avec leurs répétitions éventuelles, un même élément $x$ pouvant figurer $f(x)$ fois, avec $f(x)\in \mathbb {N}$ ). Autrement dit :

Définition

Une $k$ -combinaison avec répétition dans un ensemble $E$ est une application $f:E\to \mathbb {N}$ telle que $\sum _{x\in E}f(x)=k$ .

Lemme

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ . Le nombre de $n$ -uplets d'entiers strictement positifs de somme $m$ est égal à ${\binom {m-1}{n-1}}$ .

Démonstration

Ces $n$ -uplets $(x_{1},\dots ,x_{n})$ sont en bijection avec les $n$ -uplets $(y_{1},\dots ,y_{n})$ d'entiers tels que $1\leq y_{1}<y_{2}<\dots <y_{n-1}<y_{n}=m$ , par l'application qui à $(x_{1},\dots ,x_{n})$ associe $(x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},\dots ,x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n})$ .

Ces $n$ -uplets $(y_{1},\dots ,y_{n})$ sont eux-mêmes en bijection avec les parties de cardinal $n-1$ de l'ensemble $\{1,2,\dots ,m-1\}$ , par l'application qui à $(y_{1},\dots ,y_{n})$ associe l'ensemble $\{y_{1},\dots ,y_{n-1}\}$ .

Il y en a donc bien ${\binom {m-1}{n-1}}$ .

Remarque : ce nombre est non nul si et seulement si $m\geq n$ .

Théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Le nombre de $n$ -uplets d'entiers positifs ou nuls de somme $k$ est égal à ${\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}$ .
Pour tout ensemble fini $E$ de cardinal $n$ , le nombre de $k$ -combinaisons avec répétition dans $E$ est égal à ce même nombre.

Démonstration

Ces $n$ -uplets $(z_{1},\dots ,z_{n})$ sont en bijection avec les $n$ -uplets $(x_{1},\dots ,x_{n})$ d'entiers strictement positifs de somme $n+k$ , en posant $x_{i}=z_{i}+1$ . D'après le lemme, il y en a donc bien ${\binom {n+k-1}{n-1}}$ .
Sans perte de généralité, $E=\{1,2,\dots ,n\}$ . Les $k$ -combinaisons avec répétition dans $E$ sont alors exactement les $n$ -uplets d'entiers positifs ou nuls de somme $k$ .

Remarque : ce nombre est non nul si et seulement si $m\geq n$ .

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