Règles de Bioche

Considérons l’intégrale :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x}$.

1^er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

${\displaystyle u=\cos x}$.

2^eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

${\displaystyle u=\sin x}$.

3^eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

${\displaystyle u=\tan x}$.

Cas général

Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :

${\displaystyle u=\tan {\frac {x}{2}}}$.

On a alors :

${\displaystyle \cos x={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \sin x={\frac {2u}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \tan x={\frac {2u}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}}$.

Premier type

Intégrales de fonctions de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0}$.

On pose :

${\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )}$.

On a alors :

${\displaystyle x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta }$.

Deuxième type

Intégrales de fonctions de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b}$.

On pose :

${\displaystyle x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}}$.

On a alors :

${\displaystyle x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta }$.

Troisième type

Intégrales de fonctions de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)dx\qquad a>b}$.

On pose :

${\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b-a}{2}}}$.

On a alors :

${\displaystyle a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta }$.

Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré

Ces intégrales sont de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {ax+b}}\right)\,\mathrm {d} x}$.

On pose :

${\displaystyle u={\sqrt {ax+b}}\Leftrightarrow x={\frac {u^{2}-b}{a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {2u}{a}}\,\mathrm {d} u}$

Premier cas

L'intégrale est de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}$.

On pose alors :

${\displaystyle x=\tan u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}}$.

Autre choix possible :

${\displaystyle x=\sinh u\qquad \mathrm {d} x=\cosh u\,\mathrm {d} u}$.

Deuxième cas

L'intégrale est de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x}$.

On pose alors :

${\displaystyle x=\sin u\qquad \mathrm {d} x=\cos u\,\mathrm {d} u}$.

Autre choix possible :

${\displaystyle x=\tanh u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cosh ^{2}u}}}$.

Troisième cas

L'intégrale est de la forme :

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,\mathrm {d} x}$.

On pose alors :

${\displaystyle x={\frac {1}{\cos u}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}}$.

Autre choix possible :

${\displaystyle x=\cosh u\qquad \mathrm {d} x=\sinh u\,\mathrm {d} u}$.