Les changements de variable présentés dans cette page demandent de la réflexion mais ne devraient pas poser trop de problème.
Exercice 3-1
Calculer :
- .
Posons :
- .
On obtient alors :
- .
Posons alors :
- .
Nous obtenons :
Nous pouvons conclure que :
. |
Exercice 3-2
Calculer :
- .
Nous sommes dans le « cas hybride » des règles de Bioche, où les trois changements de variable y = cos x, y = sin x et t = tan x sont fructueux mais où un changement plus intéressant est u = cos(2x).
Pour mettre en forme ce changement de variable, remarquons que
- .
En posant u = cos(2x), on obtient donc :
Exercice 3-3
Calculer :
- .
a) En posant , nous avons donc et
b) avec donc posons
- .
- .
Posons enfin .
- .
Finalement,
- .
Exercice 3-4
Calculer :
- .
a) Pour , donc .
Par conséquent,
- .
b) L'intégration du a) n'ayant pas posé de problème, nous allons faire un changement de variable pour avoir un dénominateur identique au a). Pour cela, nous posons :
- .
Nous obtenons :
- ;
donc (par imparité de )
- .
Exercice 3-5
Calculer :
- .
a) Posons :
- .
On a donc :
b) Posons :
- .
On a donc :