Les changements de variable présentés dans cette page demandent de la réflexion. Plusieurs changement de variables successifs peuvent être nécessaires pour mener les calculs à leur terme.
Exercice 4-1
Calculer :
a) Posons :
On obtient :
Posons ensuite:
On obtient :
Nous pouvons conclure que :
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Exercice 4-2
Calculer :
- .
On a :
- .
Posons :
- .
On obtient :
- .
Posons ensuite :
- .
On obtient :
- .
Nous pouvons conclure que :
. |
Exercice 4-3
Calculer :
Nous avons :
Posons :
On obtient :
Nous pouvons conclure que :
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Exercice 4-4
Calculer :
a) Nous écrirons tout d’abord :
Posons alors :
Nous obtenons :
Posons alors :
Et donc :
Dans la première intégrale, on pose :
Dans la deuxième intégrale, on pose :
On obtient :
En conclusion, nous avons :
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b) nous avons :
En intégrant par parties chacune des deux intégrales, nous obtenons :
Comme :
il nous reste :
Dans la première intégrale du second membre, posons :
Dans la deuxième intégrale du second membre, posons :
On obtient :
Posons :
On a alors :
En conclusion, nous avons :
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