1. ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{2}=-{\frac {11}{4}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$ et ${\displaystyle \left(-{\frac {11}{4}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{4}={\frac {73}{16}}-{\frac {11}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$.
2. Les quatre solutions sont donc ${\displaystyle \pm \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}$ et ${\displaystyle \pm \left({\sqrt {3}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)}$.

${\displaystyle u+{\bar {u}}+u{\bar {u}}=|1+u|^{2}-1}$ donc E est le cercle de rayon ${\displaystyle 1}$ dont le centre a pour affixe ${\displaystyle -1}$ (il passe par l'origine).

${\displaystyle \left(1+\mathrm {i} \right)^{2}=2\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle \left(1+\mathrm {i} \right)^{3}=2\mathrm {i} -2}$ donc

${\displaystyle f\left(1+\mathrm {i} \right)={\frac {2+3\mathrm {i} }{-1+4\mathrm {i} }}={\frac {\left(2+3\mathrm {i} \right)\left(-1-4\mathrm {i} \right)}{17}}={\frac {10-11\mathrm {i} }{17}}}$

donc ${\displaystyle f\left(1-\mathrm {i} \right)={\frac {10+11\mathrm {i} }{17}}}$.

On peut choisir par exemple ${\displaystyle x+\mathrm {i} y=\left(a+\mathrm {i} b\right)^{n}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle x=\sum {\binom {n}{2k}}(-1)^{k}a^{n-2k}b^{2k}}$ et ${\displaystyle y=\sum {\binom {n}{2k+1}}(-1)^{k}a^{n-2k-1}b^{2k+1}}$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mathrm {i} ^{k}={\frac {1-\mathrm {i} ^{n}}{1-\mathrm {i} }}={\begin{cases}0&{\text{si }}n\equiv 0{\bmod {4}}\\1&{\text{si }}n\equiv 1{\bmod {4}}\\1+\mathrm {i} &{\text{si }}n\equiv 2{\bmod {4}}\\\mathrm {i} &{\text{si }}n\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}$