Calcul avec les nombres complexes/Division de deux complexes

Division de deux nombres complexes

Produit d'un nombre complexe et de son conjugué

Propriété

Pour tout nombre complexe z non nul, le produit $z{\bar {z}}$ est un nombre réel strictement positif.

Avec la forme algébrique de z, on a :

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {iy}{x^{2}+y^{2}}}$ car $z\neq 0$ et ${\bar {z}}\neq 0$ .

Division de nombres complexes

La propriété précédente nous permet de diviser deux nombres complexes en multipliant au numérateur et au dénominateur par ${\bar {z}}$ .

Exemple d'utilisation du conjugué

Soit $z=2+3i$ , calculer ${\frac {1}{z}}$
${\frac {1}{z}}={\frac {1}{2+3i}}={\frac {2-3i}{(2+3i)(2-3i)}}={\frac {2-3i}{4-i^{2}\times 9}}={\frac {2-3i}{4+9}}={\frac {2-3i}{13}}$

Opérations avec les nombres complexes conjugués

Définition

La conjugaison "se comporte bien" avec les quatre opérations.

C'est-à-dire l’ordre dans lequel les calculs (opérations ou conjugué) sont effectués n'a pas d'importance.

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}$
${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\times {\bar {z}}_{2}$
${\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {1}{\bar {z}}}$ .
${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\frac {{\bar {z}}_{1}}{{\bar {z}}_{2}}}$

Par extension à la multiplication et à l'inverse, nous pouvons aussi calculer le nombre complexe conjugué d'un nombre complexe à la puissance $n\in \mathbb {Z}$ :

${\overline {z^{n}}}={\left({\bar {z}}\right)}^{n}$

Démonstrations

Démonstration

Soit $z=a+ib$ et $z'=c+id$ , on a:

Pour l'addition (et la soustraction) :
- $z+z'=a+ib+c+id=a+c+i(b+d)$ .
- ${\bar {z}}+{\bar {z}}'=a-ib+c-id=a+c-i(b+d)$ .
- ${\overline {z+z'}}={\overline {a+ib+c+id}}={\overline {a+c+i(b+d)}}=a+c-i(b+d)={\bar {z}}+{\bar {z}}'$ .
Pour la multiplication (et la puissance) :
- $z\times z'=(a+ib)\times (c+id)=ac-bd+i(ad+cb)$ .
- ${\bar {z}}\times {\bar {z}}'=(a-ib)\times (c-id)=ac-bd-i(ad+cb)$ .
- ${\overline {z\times z'}}={\overline {(a+ib)\times (c+id)}}={\overline {ac-bd+i(ad+cb)}}=ac-bd-i(ad+cb)={\bar {z}}\times {\bar {z}}'$ .
Pour l'inverse : avec $z'\neq 0$ $z'\neq 0$ ,
- ${\frac {1}{z}}'={\frac {c-id}{c^{2}+d^{2}}}$ .
- ${\frac {1}{\bar {z'}}}={\frac {1}{c-id}}={\frac {c+id}{c^{2}+d^{2}}}$ .
- ${\overline {\left({\frac {1}{z'}}\right)}}={\overline {\left({\frac {c-id}{c^{2}+d^{2}}}\right)}}={\frac {c+id}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {1}{\bar {z'}}}$ .
Pour la division : avec $z'\neq 0$ ,
${\overline {\left({\frac {z}{z'}}\right)}}={\overline {z\times {\frac {1}{z'}}}}={\bar {z}}\times {\overline {\left({\frac {1}{z'}}\right)}}={\bar {z}}\times {\frac {1}{\bar {z'}}}={\frac {\bar {z}}{\bar {z'}}}$

Exemples

Soit $z_{1}=3+i$ et $z_{2}=-2-5i$ , le conjugué de $z_{1}\times z_{2}$ est :

Première méthode

${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\overline {(3+i)\times (-2-5i)}}={\overline {-6-15i-2i+5}}={\overline {-1-17i}}=-1+17i$

Seconde méthode

${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\overline {(3+i)}}\times {\overline {(-2-5i)}}=(3-i)\times (-2+5i)=-6+15i+2i+5=-1+17i$
Les deux méthodes conduisent donc bien au même résultat.

Expression des parties réelle et imaginaire avec le conjugué

Au lieu de séparer parties réelle et imaginaire pour mettre un nombre complexe sous forme algébrique, nous pouvons les calculer directement grâce à ces formules.

Propriété

Pour $z=x+iy$
La partie réelle est $\Re (z)=\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$
et la partie imaginaire est $\Im (z)=\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$

Démonstration

Démonstration

La démonstration est simple, pour $z=x+iy$ , il suffit de faire l'addition de $z+{\bar {z}}$ pour obtenir la partie réelle et la soustraction $z-{\bar {z}}$ pour obtenir la partie imaginaire.
$z+{\bar {z}}=x+iy+x-iy=2x=2\Re (z)$
$z-{\bar {z}}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im (z)$

Par extension, on a la propriété suivante :

Propriété

On a z réel si et seulement si : $z-{\bar {z}}=0$
Et z est un imaginaire pur si et seulement si $z+{\bar {z}}=0$

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