Calcul avec les nombres complexes/Devoir/Étude d'une fonction rationnelle

— Ⅰ —

Soit $f$ la fonction numérique d'une variable réelle définie par :

f(x)={\frac {x^{4}-6x^{2}+1}{x^{3}-x}}

et ${\mathcal {C}}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1° a) Démontrer qu'il existe $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ constantes réelles, telles que pour tout $x$ de l'ensemble de définition de $f$ :

f(x)=x-{\frac {\alpha }{x}}-{\frac {\beta }{x-1}}-{\frac {\gamma }{x+1}}

.

b) Étudier les variations de

f

. Déterminer les asymptotes de

{\mathcal {C}}

et son centre de symétrie. Résoudre les équations

f(x)=0

et

f(x)=x

. Tracer la courbe

{\mathcal {C}}

.

2° Soit $P_{a}$ la fonction polynomiale définie par :

P_{a}(x)=x^{4}-ax^{3}-6x^{2}+ax+1

.

En utilisant les résultats sur la variation de

f

, vérifier que pour tout réel

a

, l'équation

P_{a}(x)=0

admet quatre solutions réelles distinctes.

— Ⅱ —

Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

\varphi (z)=Z,\qquad Z={\frac {1+z}{1-z}}

.

Soient m le point d'affixe $z$ , M le point d'affixe $Z$ , A et A' les points d'affixes respectives $1$ et $-1$ , $z=x+\mathrm {i} y$ et $Z=X+\mathrm {i} Y$ avec $x,\,y,\,X,\,Y$ réels.

1° a) Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$ .

b) Déterminer l'ensemble des points m tels que

Z

soit réel.

c) Déterminer l'ensemble des points m tels que

Z

soit imaginaire pur.

2° a) Préciser les distances représentées par $|1-z|$ et $|1+z|$ . Déterminer l'ensemble des points m tels que $|Z|=1$ .

b) Soit

k

réel strictement positif différent de

1

. Démontrer que l'ensemble

C_{k}

des points m tels que

|Z|=k

est un cercle. En déterminer le centre et le rayon.

— Ⅲ —

Soient $z_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{-1,0,1\}$ , $z_{1}=\varphi (z_{0})$ , $z_{2}=\varphi (z_{1})$ , $z_{3}=\varphi (z_{2})$ et $z_{4}=\varphi (z_{3})$ .

1° a) Exprimer $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ et $z_{4}$ en fonction de $z_{0}$ . Étudier les cas particuliers $z_{0}=\mathrm {i}$ et $z_{0}=-\mathrm {i}$ .

b) Calculer

z_{0}z_{2}

,

z_{1}z_{3}

et

\left(z_{0}+z_{2}\right)\left(z_{1}+z_{3}\right)

.

2° Soit $a=z_{0}+z_{1}+z_{2}+z_{3}$ . Développer, réduire et ordonner $\left(z-z_{0}\right)\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)$ . Exprimer le résultat en fonction de $z$ et $a$ .

3° Pour $n\in \{0,1,2,3\}$ , soit $z_{n}=x_{n}+y_{n}\mathrm {i}$ où $x_{n}$ et $y_{n}$ sont réels. En utilisant Ⅱ 1°a), démontrer que les $y_{n}$ sont tous de même signe.

Que peut-on dire de

z_{0},\,z_{1},\,z_{2},\,z_{3}

si

a

est réel ?

Quel résultat du Ⅰ retrouve-t-on ainsi ?

Corrigé

— Ⅰ —

1° a) En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients au numérateur, on trouve l'unique solution : $\alpha =1$ , $\beta =\gamma =2$ .

b)

f

est définie sur

\mathbb {R} \setminus \{-1,0,1\}

.

Elle est impaire donc

{\mathcal {C}}

est symétrique par rapport à

O

et il suffit d'étudier

f

sur

\left]0,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[

.

f(x)=x-{\frac {1}{x}}-{\frac {2}{x-1}}-{\frac {2}{x+1}}

donc

f'(x)=1+{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {2}{(x-1)^{2}}}+{\frac {2}{(x+1)^{2}}}>0

.

\lim _{0^{+}}f=\lim _{1^{+}}f=-\infty

,

\lim _{1^{-}}f=+\infty

et

\lim _{x\to +\infty }f(x)-x=0^{-}

donc

{\mathcal {C}}

a pour asymptotes les verticales

x=0

et

x=1

et l'oblique

y=x

.

f

s'annule en

{\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}41

et

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}\approx 2{,}41

.

f(x)-x

s'annule en

{\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 0{,}45

. Graphique Google.

2° $P_{a}(x)=0\Leftrightarrow f(x)=a$ .

— Ⅱ —

1° a) $X={\frac {1-x^{2}-y^{2}}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$ et $Y={\frac {2y}{(1-x)^{2}+y^{2}}}$ .

b)

Y=0\Leftrightarrow y=0

(et

x\neq 1

).

c)

X=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1

(et

x\neq 1

).

2° a) $|1-z|=Am$ et $|1+z|=A'm$ donc $|Z|=1$ quand $m$ appartient à l'axe des ordonnées (médiatrice de $\left[A'A\right]$ ).

b)

|Z|=k\Leftrightarrow |z+1|^{2}=k^{2}|z-1|^{2}\Leftrightarrow \left(x^{2}+y^{2}+1\right)\left(1-k^{2}\right)+2x\left(1+k^{2}\right)=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}\right)^{2}-1

donc

C_{k}

est le cercle de centre le point d'affixe

{\frac {1+k^{2}}{k^{2}-1}}

et de rayon

{\frac {2k}{|1-k^{2}|}}

.

— Ⅲ —

1° a) $z_{1}={\frac {1+z_{0}}{1-z_{0}}}$ , $z_{2}=-{\frac {1}{z_{0}}}$ , $z_{3}={\frac {z_{0}-1}{z_{0}+1}}$ et $z_{4}=z_{0}$ . En particulier si $z_{0}=\pm \mathrm {i}$ : $z_{n}=z_{0}$ (et l'on vérifie facilement que si $z_{0}\neq \pm \mathrm {i}$ , les quatre $z_{n}$ sont distincts).

b)

z_{0}z_{2}=z_{1}z_{3}=-1

et

\left(z_{0}+z_{2}\right)\left(z_{1}+z_{3}\right)=\left(z_{0}-{\frac {1}{z_{0}}}\right)\left({\frac {1+z_{0}}{1-z_{0}}}+{\frac {z_{0}-1}{z_{0}+1}}\right)={\frac {z_{0}^{2}-1}{z_{0}}}{\frac {\left(1+z_{0}\right)^{2}-\left(1-z_{0}\right)^{2}}{1-z_{0}^{2}}}=-4

.

2° $\left(z-z_{0}\right)\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=\left(z^{2}-\left(z_{0}+z_{2}\right)z-1\right)\left(z^{2}-\left(z_{1}+z_{3}\right)z-1\right)=z^{4}-az^{3}-6z^{2}+az+1=P_{a}(z)$ .

3° D'après Ⅱ 1°a), $\varphi$ ne change pas le signe de la partie imaginaire ( $Y$ est du même signe que $y$ ) donc si $a\in \mathbb {R}$ , les $z_{n}$ sont tous réels (puisque leurs parties imaginaires sont de même signe et de somme nulle). On retrouve ainsi Ⅱ2°.

Remarque : $P_{a}(\varphi (z))={\frac {-4}{\left(1-z\right)^{4}}}P_{a}(z)$ .

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