Barycentre/Travail pratique/Barycentre de 3 points ou plus

Les boîtes déroulantes intitulées « Coup de pouce » contiennent des éléments essentiels de cours ou des méthodes qui doivent être absolument maîtrisées. Si vous ne savez pas comment vous y prendre et que vous avez besoin d'y jeter un œil, relisez le cours après avoir fait l'exercice.

Localisation

Soient A, B et C trois points du plan et α, β, γ trois réels tels que $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$ .

On note G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}$ .

Démontrer que ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$
Par une démonstration analogue, exprimer ${\overrightarrow {\rm {BG}}}$ en fonction de ${\overrightarrow {\rm {BA}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {BC}}}$
Enfin, exprimer ${\overrightarrow {\rm {CG}}}$ en fonction de ${\overrightarrow {\rm {CA}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CB}}}$

Coup de pouce

Si l’on veut obtenir la localisation de G à partir de A, il faut partir de la définition $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$ et utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître A au milieu des vecteurs ${\overrightarrow {\rm {GB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {GC}}}$ .

Solution

Question 1

$\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

donc $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta ({\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AB}}})+\gamma ({\overrightarrow {\rm {GA}}}+{\overrightarrow {\rm {AC}}})={\vec {0}}$

donc $(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {GA}}}=-\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}-\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}$

donc $(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {AG}}}=\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}$

Finalement ${\overrightarrow {\rm {AG}}}={\frac {\beta {\overrightarrow {\rm {AB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {AC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

Question 2

$\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

donc $\alpha ({\overrightarrow {\rm {GB}}}+{\overrightarrow {\rm {BA}}})+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma ({\overrightarrow {\rm {GB}}}+{\overrightarrow {\rm {BC}}})={\vec {0}}$

donc $(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {GB}}}=-\alpha {\overrightarrow {\rm {BA}}}-\gamma {\overrightarrow {\rm {BC}}}$

donc $(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {BG}}}=\alpha {\overrightarrow {\rm {BA}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {BC}}}$

Finalement ${\overrightarrow {\rm {BG}}}={\frac {\alpha {\overrightarrow {\rm {BA}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {BC}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

Question 3

$\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

donc $\alpha ({\overrightarrow {\rm {GC}}}+{\overrightarrow {\rm {CA}}})+\beta ({\overrightarrow {\rm {GC}}}+{\overrightarrow {\rm {CB}}})+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$

donc $(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {GC}}}=-\alpha {\overrightarrow {\rm {CA}}}-\beta {\overrightarrow {\rm {CB}}}$

donc $(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {CG}}}=\alpha {\overrightarrow {\rm {CA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {CB}}}$

Finalement ${\overrightarrow {\rm {CG}}}={\frac {\alpha {\overrightarrow {\rm {CA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {CB}}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$

Égalité valable en tout point

Soient A, B et C trois points du plan et α, β, γ trois réels tels que $\alpha +\beta +\gamma \neq 0$ .

On note G le barycentre du système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha ),({\rm {B}},\beta ),({\rm {C}},\gamma )\}$ .

Montrer que, pour tout point M, on a l'égalité $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {MC}}}=(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {MG}}}$

Coup de pouce

Il faut encore partir de la définition vectorielle du barycentre $\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}$ et utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître M au milieu des vecteurs ${\overrightarrow {\rm {GA}}}$ , ${\overrightarrow {\rm {GB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {GC}}}$ .

Solution

Soit M un point.

${\begin{aligned}&~\alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}\\&\Leftrightarrow \alpha ({\overrightarrow {\rm {GM}}}+{\overrightarrow {\rm {MA}}})+\beta ({\overrightarrow {\rm {GM}}}+{\overrightarrow {\rm {MB}}})+\gamma ({\overrightarrow {\rm {GM}}}+{\overrightarrow {\rm {MC}}})={\vec {0}}\\&\Leftrightarrow (\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {GM}}}+\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {MC}}}={\vec {0}}\\&\Leftrightarrow \alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {MC}}}=(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {MG}}}\end{aligned}}$

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