1° Effectuons les divisions successives des quotients successifs par les restes successifs :

${\displaystyle 31=17\times 1+14}$

${\displaystyle 17=14\times 1+3}$

${\displaystyle 14=3\times 4+2}$

${\displaystyle 3=2\times 1+1}$

En repartant de la dernière relation, on obtient :

${\displaystyle 1=3-2\times 1=3-(14-3\times 4)\times 1=3\times 5-14=(17-14\times 1)\times 5-14=17\times 5-14\times 6=17\times 5-(31-17\times 1)\times 6=17\times 11-31\times 6}$

Nous voyons que nous avons la relation de Bezout :

${\displaystyle 17\times 11-31\times 6=1}$

Une solution de l'équation :

${\displaystyle 17x+31y=1}$

est donc :

${\displaystyle {\begin{cases}x=11\\y=-6\end{cases}}}$

2° Nous avons :

${\displaystyle {\begin{cases}17x+31y=1\\17\times 11-31\times 6=1\end{cases}}}$

Par soustraction membre à membre, nous obtenons :

${\displaystyle 17(x-11)+31(y+6)=0}$

qui peut s'écrire :

${\displaystyle 31(y+6)=17(11-x)}$

Nous en déduisons que 31 divise 17(11-x) tout en étant premier avec 17, donc d'après le théorème de Gauss, 31 divise 11-x. Il existe donc k tel que :

${\displaystyle 11-x=31k}$

on obtient donc :

${\displaystyle x=11-31k}$

En portant cette valeur de x dans :

${\displaystyle 17x+31y=1}$

on obtient :

${\displaystyle 17(11-31k)+31y=1}$

qui donne :

${\displaystyle y=17k-6}$

On a obtenu :

${\displaystyle {\begin{cases}k\in \mathbb {Z} \\x=11-31k\\y=17k-6\end{cases}}}$

En simplifiant par 105, l'équation se réécrit :

${\displaystyle 35x-43y=42}$,

ou encore :

${\displaystyle 35x-43(y+1)=-1}$.

Or l'algorithme d'Euclide donne : 1 = 35×16 – 43×13. L'équation équivaut donc à :

${\displaystyle 35(x+16)=43(y+14)}$,

dont les solutions sont :

${\displaystyle x=-16+43k,\,y=-14+35k\quad (k\in \mathbb {Z} )}$.

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle 3(4x-7y)=16}$

Comme 3 n'est pas un diviseur de 16, nous en déduisons que l'équation n'a pas de solution.

Soit x un des nombres cherchés. Si le reste de sa division par 13 est 1, cela signifie qu'il existe un entier u tel que :

${\displaystyle x=13u+1}$.

Si le reste de sa division par 7 est 6, cela signifie qu'il existe un entier v tel que :

${\displaystyle x=7v+6}$.

On a alors :

${\displaystyle 13u+1=7v+6}$,

qui s'écrit :

${\displaystyle 13u-7v=5}$.

Nous tombons sur une équation dont nous avons vu la méthode de résolution dans les exercices précédents ; on trouve :

${\displaystyle {\begin{cases}k\in \mathbb {Z} \\u=7k-5\\v=13k-10\end{cases}}}$

et en remplaçant dans les expressions de x, on trouve :

${\displaystyle {\begin{cases}k\in \mathbb {Z} \\x=91k-64.\end{cases}}}$

Mais une méthode plus efficace est celle des substitutions successives : voir l'exercice 9-10 sur les congruences.