modulo 7, ${\displaystyle 32^{3}\equiv (-3)^{3}\equiv (1)}$ (car -27=-4*7 + 1) donc ${\displaystyle 32^{3\times 15}\equiv (1)^{15}\equiv 1}$ : le reste est donc 1.

${\displaystyle 57383=3020\times 19+3}$ et modulo 19, ${\displaystyle 3^{9}\equiv -1}$ donc ${\displaystyle 57383^{114}\equiv 3^{9\times 12+6}\equiv 3^{6}\equiv 8^{2}\equiv 7}$ : le reste est 7.

${\displaystyle 91234=13033\times 7+3}$, ${\displaystyle 3^{3}\equiv -1{\pmod {7}}}$ et ${\displaystyle 6\mid 1998}$, donc le reste est 1.

1. ${\displaystyle 1000=9\times 111+1}$.
2. Modulo 111, ${\displaystyle (10^{3})^{2}\times 10^{2}+10^{3}\times 10+1\equiv 10^{2}+10+1\equiv 0}$ et ${\displaystyle (10^{3})^{3}\times 10+10^{3}\times 10^{2}+1\equiv 10+10^{2}+1\equiv 0}$.

Modulo 9, n³ est congru à 0 si n est divisible par 3, et à ±1 sinon. Les solutions sont donc tous les entiers non divisibles par 3.

Soit ${\displaystyle n}$ un entier relatif :

• si ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {7}}}$ alors ${\displaystyle n^{3}\equiv 0{\pmod {7}}}$ ;
• si ${\displaystyle n\equiv 1}$, ${\displaystyle 2}$ ou ${\displaystyle -3{\pmod {7}}}$ alors ${\displaystyle n^{3}\equiv 1{\pmod {7}}}$ ;
• si ${\displaystyle n\equiv -1}$, ${\displaystyle -2}$ ou ${\displaystyle 3{\pmod {7}}}$ alors ${\displaystyle n^{3}\equiv -1{\pmod {7}}}$.

Nous voyons que si aucun des cinq entiers n'est un multiple de 7, leur cube sera congru soit à 1, soit à –1 modulo 7 et par conséquent la somme de ces cinq cubes ne pourra pas être congrue à 0 modulo 7. Un des cinq entiers relatifs est donc un multiple de 7.

1. Si p = 3, 8p + 1 = 25. Si p est premier et différent de 3, alors, modulo 3, p ≡ ±1 donc (8p – 1)(8p + 1) ≡ (–p – 1)(–p + 1) = p² – 1 ≡ 0.
2. Si p est premier et différent de 3, alors, modulo 3, p ≡ ±1 donc 8p² + 1 ≡ 9 ≡ 0.

Une autre façon d'écrire ces trois congruences est :

${\displaystyle {\begin{cases}x\equiv -1{\pmod {2}}\\x\equiv -1{\pmod {3}}\\x\equiv -1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

Nous en déduisons que ${\displaystyle x}$ est solution si et seulement si x + 1 est un multiple de PPCM(2, 3, 4) = 12, c'est-à-dire s'il existe ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ tel que ${\displaystyle x+1=12k}$, soit :

${\displaystyle x=12k-1}$.

Modulo 10, ${\displaystyle 7^{4}\equiv (-1)^{2}=1}$ et modulo 4, ${\displaystyle 7^{7}\equiv (-1)^{7}\equiv -1\equiv 3}$ donc modulo 10, ${\displaystyle 7^{7^{7}}\equiv 7^{3}\equiv -7\equiv 3}$ : le chiffre est 3.

1. Soit ${\displaystyle n=13k+1}$. Puisque ${\displaystyle 13\equiv 6\equiv -1{\bmod {7}}}$,

   ${\displaystyle n\equiv 6{\bmod {7}}\Leftrightarrow -k+1\equiv -1{\bmod {7}}\Leftrightarrow k\equiv 2{\bmod {7}}}$

   donc les solutions sont :

   ${\displaystyle n=13\left(7l+2\right)+1=91l+27}$, avec ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$.

2. Soit ${\displaystyle n=27k+1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv 5{\bmod {8}}\Leftrightarrow 3k+1\equiv -3{\bmod {8}}\Leftrightarrow 3k\equiv -12{\bmod {8}}\Leftrightarrow k\equiv -4{\bmod {8}}}$

   donc les solutions sont : ${\displaystyle n=27\left(8l-4\right)+1=216l-107}$, avec ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$.

3. Soit ${\displaystyle n=4k+1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 1{\bmod {5}}\Leftrightarrow -k+1\equiv \pm 1{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv 0{\text{ ou }}2{\bmod {5}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=4\left(5l\right)+1=20l+1}$ et ceux de la forme ${\displaystyle n=4\left(5l+2\right)+1=20l+9}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle 1{\text{ ou }}9{\bmod {20}}}$.

4. Soit ${\displaystyle n=4k-1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 2{\bmod {5}}\Leftrightarrow -k-1\equiv \pm 2{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv -3{\text{ ou }}1{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv 1{\text{ ou }}2{\bmod {5}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=4\left(5l+1\right)-1=20l+3}$ et ceux de la forme ${\displaystyle n=4\left(5l+2\right)-1=20l+7}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle 3{\text{ ou }}7{\bmod {20}}}$.

5. Soit ${\displaystyle n=3k+1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 1{\bmod {8}}\Leftrightarrow 3k\equiv 0{\text{ ou }}-2{\bmod {8}}\Leftrightarrow 3k\equiv 0{\text{ ou }}6{\bmod {8}}\Leftrightarrow k\equiv 0{\text{ ou }}2{\bmod {8}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=3\left(8l\right)+1=24l+1}$ et ceux de la forme ${\displaystyle n=3\left(8l+2\right)+1=24l+7}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle 1{\text{ ou }}7{\bmod {24}}}$.

6. Soit ${\displaystyle n=3k-1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 3{\bmod {8}}\Leftrightarrow 3k\equiv -2{\text{ ou }}4{\bmod {8}}\Leftrightarrow 3k\equiv 6{\text{ ou }}12{\bmod {8}}\Leftrightarrow k\equiv 2{\text{ ou }}4{\bmod {8}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=3\left(8l+2\right)-1=24l+5}$ et ceux de la forme ${\displaystyle n=3\left(8l+4\right)-1=24l+11}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle 5{\text{ ou }}11{\bmod {24}}}$.

7. Soit ${\displaystyle n=13k+5\varepsilon }$, avec ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 2{\bmod {5}}\Leftrightarrow -2k\equiv \pm 2{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv \pm 1{\bmod {5}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=13\left(5l+\varepsilon \right)+5\varepsilon =65l+18\varepsilon }$ et ceux de la forme ${\displaystyle n=13\left(5l-\varepsilon \right)+5\varepsilon =65l-8\varepsilon }$ avec ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle \pm 8{\text{ ou }}\pm {18}{\bmod {65}}}$.

8. Soit d'abord ${\displaystyle n=8k+1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 1{\bmod {5}}\Leftrightarrow -2k\equiv 0{\text{ ou }}-2{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv 0{\text{ ou }}1{\bmod {5}}}$.
   Soit d'autre part ${\displaystyle n=8k+3}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 1{\bmod {5}}\Leftrightarrow -2k\equiv -2{\text{ ou }}-4{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv 1{\text{ ou }}2{\bmod {5}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=8\left(5l\right)+1=40l+1}$, ${\displaystyle n=8\left(5l+1\right)+1=40l+9}$, ${\displaystyle n=8\left(5l+1\right)+3=40l+11}$ ou ${\displaystyle n=8\left(5l+2\right)+3=40l+19}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle 1,9,11{\text{ ou }}19{\bmod {40}}}$.

9. Soit d'abord ${\displaystyle n=8k-1}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 1{\bmod {5}}\Leftrightarrow -2k\equiv -2{\text{ ou }}4{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv 1{\text{ ou }}-2{\bmod {5}}}$.
   Soit d'autre part ${\displaystyle n=8k-3}$. Alors, ${\displaystyle n\equiv \pm 1{\bmod {5}}\Leftrightarrow -2k\equiv 0{\text{ ou }}-4{\bmod {5}}\Leftrightarrow k\equiv 0{\text{ ou }}2{\bmod {5}}}$.

   Les solutions sont donc les entiers ${\displaystyle n}$ de la forme ${\displaystyle n=8\left(5l+1\right)-1=40l+7}$, ${\displaystyle n=8\left(5l-2\right)-1=40l-17}$, ${\displaystyle n=8\left(5l\right)-3=40l-3}$ ou ${\displaystyle n=8\left(5l+2\right)-3=40l+13}$, c'est-à-dire les entiers congrus à ${\displaystyle 7,-17,-3{\text{ ou }}13{\bmod {40}}}$.