a(a² – 1) = (a – 1)a(a + 1) est divisible :

• par 3 car l'un des trois facteurs l'est ;
• par 2 car l'un au moins des trois facteurs l'est.

Il est donc divisible par ppcm(3, 2) = 6. Attention ! Il faut s'assurer également que 3 et 2 sont premiers entre eux ! Contre exemple : 6 divise 12 et 4 divise 12 et pourtant 24(=6*4) ne divise pas 12 (en effet ici 6 et 4 ne sont pas premiers entre eux).

Si xy | x + y alors x | x + y donc x | y et de même, y | x, si bien que y = ±x. Étudions la réciproque.

Si y = –x alors x + y est nul donc divisible par xy.

Si y ≠ –x et y = x (donc x ≠ 0) alors xy | x + y si et seulement si x² | 2x, c'est-à-dire x | 2.

Les solutions sont donc les couples (x, x) pour x = ±1 ou ±2 et les couples (x, –x) pour tout entier x.

Soit ${\displaystyle (x,y,z)}$ une solution, avec ${\displaystyle x\leq y\leq z}$. Si ${\displaystyle x=0}$ alors ${\displaystyle 0=4(y+z)}$ donc ${\displaystyle y=z=0}$. Supposons désormais ${\displaystyle x>0}$.

Alors, ${\displaystyle {\frac {1}{yz}}+{\frac {1}{zx}}+{\frac {1}{xy}}={\frac {1}{4}}}$ donc :

• ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\leq {\frac {3}{xy}}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle xy\leq 12}$ ;
• ${\displaystyle {\frac {1}{xy}}<{\frac {1}{4}}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle xy\geq 5}$.

Passons en revue, pour ces valeurs autorisées de ${\displaystyle P=xy}$, les valeurs possibles de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$. On aura ${\displaystyle Pz=4\left({\frac {P}{y}}+y+z\right)}$ donc ${\displaystyle z={\frac {4\left({\frac {P}{y}}+y\right)}{P-4}}}$, qui doit être supérieur ou égal à ${\displaystyle y}$, ce qui équivaut à :

${\displaystyle (P-8)y^{2}\leq 4P}$.

• Si P = 5 alors x = 1 et y = 5 donc z = 24.
• Si P = 6 alors :
  • ou bien x = 1 et y = 6 donc z = 14,
  • ou bien x = 2 et y = 3 donc z = 10.
• P = 7 est impossible car on aurait x = 1 et y = 7 donc z = 32/3 (non entier).
• Si P = 8 alors :
  • ou bien x = 1 et y = 8 donc z = 9,
  • ou bien x = 2 et y = 4 donc z = 12.
• P = 9 est impossible car on aurait (compte tenu de la condition y² ≤ 4×9/(9 – 8)) x = y = 3 donc z = 24/5 (non entier).
• P = 10 est impossible car on aurait ${\displaystyle y^{2}\geq 5^{2}>20={\frac {4P}{P-8}}}$.
• P = 11 est impossible car on aurait ${\displaystyle y^{2}=11^{2}>{\frac {44}{3}}={\frac {4P}{P-8}}}$.
• P = 12 est impossible car on aurait ${\displaystyle y^{2}\geq 4^{2}>12={\frac {4P}{P-8}}}$.

Les solutions sont donc : (0, 0, 0), (1, 5, 24), (1, 6, 14), (2, 3, 10), (1, 8, 9) et (2, 4 ,12).

${\displaystyle n(n^{6}-1)=n(n^{3}-1)(n^{3}+1)}$ or modulo 7, si ${\displaystyle n\not \equiv 0}$ alors ${\displaystyle n^{3}}$ est congru à ${\displaystyle (\pm 1)^{3}=\pm 1}$, ${\displaystyle (\pm 2)^{3}\equiv \pm 1}$ ou ${\displaystyle (\pm 3)^{3}\equiv 2\times \pm 3\equiv \mp 1}$.

Modulo 7, ${\displaystyle 3^{2}\equiv 2}$ donc ${\displaystyle 3^{2n}=\left(3^{2}\right)^{n}\equiv 2^{n}}$.

1. Si ni a ni b n'étaient divisibles par 3 alors, modulo 3, a² + b² serait congru à (±1)² + (±1)² = 2, ce qui est absurde car c² est congru à 0 ou 1.
2. Si ni a ni b ne sont divisibles par 5 alors, modulo 5, a² et b² sont congrus à ±1 et ne sont pas congrus entre eux (car c² n'est pas congru à ±2). Donc leur somme c² est congrue à 1 – 1 = 0, donc c est divisible par 5.
3. Quitte à simplifier par les puissances de 2 communes à a, b et c, on peut supposer que a ou b est impair, et même (en intervertissant a et b si nécessaire), que a est impair. Alors, modulo 8, a² est congru à 1, tandis que b² et c² sont congrus à 0, 1 ou 4. On en déduit que b² est divisible par 8 donc b est divisible par 4.

Modulo 7, tout carré est congru à ${\displaystyle 0^{2}=0}$, ${\displaystyle (\pm 1)^{2}=1}$, ${\displaystyle (\pm 2)^{2}=4}$ ou ${\displaystyle (\pm 3)^{2}\equiv 2}$, or la somme de deux tels nombres n'est congrue à 0 que si chacun des deux est 0.

La somme des n entiers de m à m + n – 1 est ${\displaystyle {\frac {n(2m+n-1)}{2}}=n\times \left(m+{\frac {n-1}{2}}\right)}$.

Récurrence.

• Initialisation : ${\displaystyle (5\times 0)!=0!=1}$ est divisible par ${\displaystyle 1=40^{0}\times 0!}$.
• Hérédité : si ${\displaystyle (5n)!}$ est divisible par ${\displaystyle 40^{n}\times n!}$, alors ${\displaystyle (5(n+1))!}$ est divisible par ${\displaystyle 40^{n}\times n!\times (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)=40^{n}\times (n+1)!\times 5(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)}$ donc par ${\displaystyle 40^{n+1}\times (n+1)!}$, car ${\displaystyle (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)}$ est divisible par 8. En effet, sur 4 entiers consécutifs, il y a 2 pairs, dont l'un divisible par 4.