Le théorème

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (formant l'angle droit).

Par exemple, dans un triangle ABC rectangle en C, on a l'égalité : ${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}}$

Applications

Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle lorsque l’on connaît les longueurs des deux autres côtés.

1er exemple : on connaît les longueurs des deux côtés de l'angle droit

Soit GZK un triangle rectangle en Z et tel que ZK = 8 et ZG = 6. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.

D'après le théorème de Pythagore :

${\displaystyle {\begin{aligned}GK^{2}&=ZG^{2}+ZK^{2}\\&=6^{2}+8^{2}\\&=36+64\\&=100.\end{aligned}}}$

GK étant une longueur, elle est donc un nombre positif dont le carré est égal à 100 d'où ${\displaystyle GK=10}$.

2^e exemple : on connaît les longueurs d’un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse

Soit LDS un triangle rectangle en S et tel que LD = 13 et DS = 12. Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.

D'après le théorème de Pythagore :

${\displaystyle DS^{2}+LS^{2}=LD^{2}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}LS^{2}&=LD^{2}-DS^{2}\\&=13^{2}-12^{2}\\&=169-144\\&=25.\end{aligned}}}$

LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 : ${\displaystyle LS=5}$.

La réciproque

Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle, une relation est vérifiée. On peut se poser la question suivante : « Est ce que tous les triangles qui vérifient cette relation sont des triangles rectangles ? ». La réponse est oui et cette propriété est appelée « réciproque du théorème de Pythagore ».

Théorème

Si un triangle ABC vérifie la relation ${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}}$ alors, c’est un triangle rectangle en C.

Application

La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.

Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.

Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c’est le plus grand.

${\displaystyle DE^{2}=17^{2}=289}$.

${\displaystyle EF^{2}+DF^{2}=225+64=289}$.

Les deux expressions sont égales, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.