Passage en coordonnées projectives

On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :

${\displaystyle (x_{2};y_{2})\sim (x_{1};y_{1})}$ ssi ${\displaystyle \exists \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}=\lambda \ x_{1}\\y_{2}=\lambda \ y_{1}\end{cases}}}$

L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par

${\displaystyle {\begin{cases}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{cases}}}$

induit alors une application de la droite projective dans elle-même

dont la restriction à ${\displaystyle \mathbb {R} }$ n'est autre que la fonction f car en posant :

${\displaystyle t={\frac {x}{y}}}$

on a :

${\displaystyle f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}={\frac {ax+by}{cx+dy}}={\frac {x'}{y'}}}$

De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :

${\displaystyle F(x;y)=(\lambda x;\lambda y)}$

ssi

${\displaystyle f(t)=t={\frac {\lambda x}{\lambda y}}}$

Cas où F est diagonalisable

Dans le repère de départ, F a pour matrice :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

si F est diagonalisable de valeurs propres ${\displaystyle \lambda _{1}}$ et ${\displaystyle \lambda _{2}}$, on a :

${\displaystyle U=PV}$

${\displaystyle A=P\Delta \ P^{-1}}$

où

• P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).

U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base. V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.

Notons :

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

alors

${\displaystyle V'=\Delta \ V}$

et par passage au quotient projectif :

${\displaystyle v'={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v}$.

Retour à la suite récurrente

En adoptant les mêmes notations,

${\displaystyle v_{n+1}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}v_{n}}$

la suite ${\displaystyle v_{n}}$ est donc géométrique de raison ${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

On peut donc en conclure que si :

${\displaystyle u_{n+1}={\frac {au_{n}+b}{cu_{n}+d}}}$

en posant :

${\displaystyle v_{n}={\frac {\alpha u_{n}+\beta }{\gamma u_{n}+\delta }}}$

on obtient une suite géométrique ${\displaystyle v_{n}}$.

Avec les points fixes

De plus en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1, et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}l_{1}&-l_{2}\\1&-1\end{pmatrix}}}$

où ${\displaystyle l_{1}}$ et ${\displaystyle l_{2}}$ sont les points fixes de f.

et donc :

${\displaystyle P^{-1}={\frac {1}{l_{2}-l_{1}}}{\begin{pmatrix}1&-l_{2}\\1&-l_{1}\end{pmatrix}}}$

donc en particulier si l’on pose :

${\displaystyle v_{n}={\frac {u_{n}-l_{2}}{u_{n}-l_{1}}}}$

on obtient une suite géométrique ${\displaystyle v_{n}}$.