La suite ${\displaystyle (v_{n})}$ définie par ${\displaystyle v_{n}=\ln(u_{n})}$ vérifie : ${\displaystyle v_{n+1}={\frac {v_{n}+\ln b}{2}}}$. C'est donc une suite arithmético-géométrique et (cf. chapitre 6)

${\displaystyle v_{n}=2^{-n}v_{0}+(1-2^{-n})\ln b}$,

d'où

${\displaystyle u_{n}=a^{2^{-n}}b^{1-2^{-n}}}$.

Par conséquent, ${\displaystyle u_{n}\to a^{0}b^{1}=b}$ et

${\displaystyle {\frac {u_{n}}{u_{n-1}}}={\frac {b}{u_{n}}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2^{-n}}}$ donc la suite est strictement croissante si ${\displaystyle b>a}$, strictement décroissante si ${\displaystyle b<a}$ et constante si ${\displaystyle b=a}$.