Premier cas : 0 ≤ µ ≤ 1

Étudions la suite pour 0 ≤ µ ≤ 1. On admet que le comportement de la suite est le même sur tout l'intervalle des valeurs possibles. On note ƒ la fonction telle que :

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})~}$

Cherchons les points fixes de ƒ, c'est-à-dire les points x tels que :

${\displaystyle f(x)=x}$

${\displaystyle \mu x(1-x)=x}$

${\displaystyle \mu x-\mu x^{2}-x=0}$

${\displaystyle (\mu -1)x=\mu x^{2}}$

On trouve deux solutions à ce trinôme, mais la seule dans [0, 1] est x = 0. Ainsi, si la suite converge, elle tend vers 0. Étudions le signe de ƒ(x) - x :

${\displaystyle f(x)-x=\mu x(1-x)-x=\left(\mu -1\right)x-\mu x^{2}}$

Une étude rapide de la fonction montre qu'elle est de signe négatif sur l'intervalle des valeurs de x, donc, d’après le chapitre précédent, la suite est décroissante.

Décroissante et minorée par 0, elle converge — ƒ étant continue, la suite converge vers un point fixe.

Conclusion :

Second cas : 1 ≤ µ ≤ 2

Il y a deux solutions à l'équation précédente :

${\displaystyle x=0}$

et

${\displaystyle x={\frac {\mu -1}{\mu }}}$

• Supposons x₀ < (1 - 1/µ). En effet, A = [0; 1 - 1/µ] est un intervalle stable par ƒ. La fonction ƒ(x) - x est positive sur A, donc la suite est croissante. Croissante et majorée, elle converge — ƒ étant continue, la suite converge vers un point fixe. Si x₀ = 0, celle limite est nulle. Sinon, celle limite est (µ - 1)/µ.
• Supposons maintenant x₀ > 1/µ (µ/4 correspond au maximum de ƒ). Alors, par symétrie de ƒ, ou par calcul direct, on montre que x₁ < (1 - 1/µ), et on se retrouve dans le premier cas.
• Supposons enfin que x₀ est dans l'intervalle [1 - 1/µ; 1/µ], lequel est symétrique. On montre de même que la suite est décroissante sur cet intervalle, donc converge.

Conclusion :

Troisième cas : 2 ≤ µ ≤ 3

On montre de même, quoique péniblement, la convergence de la suite, vers la même limite.

Cas ultérieurs : µ > 3

À partir de µ = 3, il n'y a plus de points fixes, donc la suite ne peut plus converger. C’est là que les choses deviennent intéressantes. Il faut commencer à chercher les cycles d'ordre deux, c'est-à-dire les points x solutions de :

${\displaystyle f\left(f\left(x\right)\right)=x}$

En développant, on obtient un polynôme du quatrième degré — mais on en connait déjà deux solutions : les deux points fixes de la suite. On peut donc la mettre sous une agréable forme (c'est-à-dire une équation du second degré), et la résoudre facilement. On obtient donc aisément la paire de solutions :

${\displaystyle \beta _{+}={1 \over 2}(1+{1 \over \mu }{\sqrt {\mu ^{2}-2\mu -3}})}$ ${\displaystyle \beta _{-}={1 \over 2}(1-{1 \over \mu }{\sqrt {\mu ^{2}-2\mu -3}})}$

On remarque que :

${\displaystyle f\left(\beta _{+}\right)=\beta _{-}}$ ${\displaystyle f\left(\beta _{-}\right)=\beta _{+}}$

Il y a donc un unique cycle d'ordre deux. On montre qu’il est présent tant que µ < 1+√6.

Au-delà de cette valeur, il faut chercher les solutions de ƒ(ƒ(ƒ(ƒ(x)))) = x, qui révèle un cycle d'ordre quatre. Et ainsi de suite... il faut chercher des cycles d'ordre de plus en plus grand.

Passé une certaine valeur — environ µ > 3,57 — le système devient clairement « chaotique » : une infime différence pour μ a des conséquences énormes (et imprévisibles) sur l'issue du système.

Diagramme de bifurcation

Pour résumer cette étude (qu'on peut aisément automatiser), il est possible de la représenter graphiquement. Cela s’appelle tracer un diagramme de bifurcation.

• On mesure sur l’axe des abscisses la valeur de μ.
• Pour chaque abscisse, on place en ordonnée le point vers lequel la suite converge, ou le cas échéant les points du cycle vers lesquels la suite converge.

On obtient une diagramme comme celui qui suit :

Diagramme de bifurcation

On vérifie les résultats établis précédemment : il y a une courbe (un point fixe), qui se divise en deux (un 2-cycle), lesquelles se divisent chacune en deux (un 4-cycle), etc.

Passé une valeur critique, la suite a un comportement surprenant, qui apparaît sur la zone droite du diagramme.