Tout d’abord, remarquons que :

${\displaystyle {\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {(a+ib)(c-id)}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+i{\frac {ad-bc}{c^{2}+d^{2}}}}$

Ainsi, dans ce cas, il faut et il suffit, pour que, ${\displaystyle {\frac {a+ib}{c+id}}\in \mathbb {R} }$, que ${\displaystyle ad-bc=0}$

Comme dans l'exercice 1, on réécrit la fraction de sorte que le dénominateur soit réel :

${\displaystyle {\frac {a-b{\bar {a}}}{1-b}}={\frac {(a-b{\bar {a}})(1-{\bar {b}})}{(1-b)(1-{\bar {b}})}}={\frac {a-b{\bar {a}}-a{\bar {b}}+ab{\bar {b}}}{1-2\Re (b)-|b|^{2}}}={\frac {a+|b|^{2}{\bar {a}}-2\Re (a{\bar {b}})}{1-2\Re (b)-|b|^{2}}}}$

en utilisant les propriétés de la conjugaison de complexes.

Il reste è remarquer que : ${\displaystyle a+|b|^{2}{\bar {a}}=(1+|b|^{2})\Re (a)+i(1-|b|^{2})\Im (a)}$.

Ainsi, on a : ${\displaystyle {\frac {a-b{\bar {a}}}{1-b}}\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow (1-|b|^{2})\Im (a)=0\Longleftrightarrow a\in \mathbb {R} \ ou\ |b|=1}$

Tout d’abord, on réécrit les nombres complexes de la fraction sous forme exponentielle :

${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}=2\exp \left(i{\frac {\pi }{3}}\right)\qquad 1-i={\sqrt {2}}\exp \left(-i{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Ainsi : ${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{1-i}}={\sqrt {2}}\exp \left(i{\frac {7\pi }{12}}\right)}$.

D'où, par la formule de Moivre : ${\displaystyle z_{n}=({\sqrt {2}})^{n}\exp \left(i{\frac {7n\pi }{12}}\right)}$.

Ainsi, ${\displaystyle z_{n}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {7n}{12}}\in \mathbb {N} \Leftrightarrow 12\mid 7n}$.

De plus, 12 et 7 sont premiers entre eux, donc, par le théorème de Gauss : ${\displaystyle 12\mid n}$.

Finalement ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid z_{n}\in \mathbb {R} \}=12\mathbb {N} =\{12k\mid k\in \mathbb {N} \}}$.

1. Il suffit de factoriser par ${\displaystyle e^{it/2}}$ :

${\displaystyle 1-e^{it}=e^{it/2}(e^{-it/2}-e^{it/2})=-2i\sin \left({\frac {t}{2}}\right)e^{it/2}}$

2. Posons ${\displaystyle r=e^{i\pi /11}}$. On a alors :

${\displaystyle e^{i\pi /11}+e^{3i\pi /11}+e^{5i\pi /11}+e^{7i\pi /11}+e^{9i\pi /11}=r+r^{3}+r^{5}+r^{7}+r^{9}=r(1+r^{2}+(r^{2})^{2}+(r^{2})^{3}+(r^{2})^{4})=r{\frac {1-(r^{2})^{5}}{1-r^{2}}}}$

comme somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Ainsi :

${\displaystyle e^{i\pi /11}+e^{3i\pi /11}+e^{5i\pi /11}+e^{7i\pi /11}+e^{9i\pi /11}=e^{i\pi /11}{\frac {1-e^{10i\pi /11}}{1-e^{2i\pi /11}}}}$

On applique le résultat de la question 1. au numérateur et au dénominateur :

${\displaystyle e^{i\pi /11}+e^{3i\pi /11}+e^{5i\pi /11}+e^{7i\pi /11}+e^{9i\pi /11}=e^{i\pi /11}{\frac {-2i\sin \left({\frac {5\pi }{11}}\right)e^{5i\pi /11}}{-2i\sin \left({\frac {\pi }{11}}\right)e^{i\pi /11}}}}$

En simplifiant, on retrouve l'égalité recherchée.

3. En voyant que la somme des cosinus est la partie réelle du terme de gauche de l'égalité de la question 2., la solution est évidente :

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{11}}\right)+\cos \left({\frac {3\pi }{11}}\right)+\cos \left({\frac {5\pi }{11}}\right)+\cos \left({\frac {7\pi }{11}}\right)+\cos \left({\frac {9\pi }{11}}\right)=\Re \left({\frac {\sin \left({\frac {5\pi }{11}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{11}}\right)}}e^{i\pi /11}\right)={\frac {\sin \left({\frac {5\pi }{11}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{11}}\right)}}\cos \left({\frac {\pi }{11}}\right)}$