Application (mathématiques)/Exercices/Images directes et réciproques

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, $f:E\to F$ une application, $A$ et $A'$ deux parties de $E$ , et $B$ et $B'$ deux parties de $F$ . Démontrer les propriétés suivantes (en utilisant éventuellement, pour chacune, les précédentes).

Exercice 1

$f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')$ .

Solution

$f(A\cup A')=\{f(x)\mid x\in A\cup A'\}=\{f(x)\mid x\in A\}\cup \{f(x)\mid x\in A'\}=f(A)\cup f(A')$ .

Exercice 2

$A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A')$ .

Solution

$A\subset A'\Leftrightarrow A\cup A'=A'\Rightarrow f(A\cup A')=f(A')\Leftrightarrow$ ^[1] $f(A)\cup f(A')=f(A')\Leftrightarrow f(A)\subset f(A')$ .

↑ D'après l'exercice 1.

Exercice 3

$f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')$ .
Cette inclusion est parfois stricte.
Si $f$ est injective alors $f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')$ .

Solution

D'après l'exercice 2, $f(A\cap A')\subset f(A)$ (car $A\cap A'\subset A$ ) et de même, $f(A\cap A')\subset f(A')$ .
Soient $f:E\to F$ une application non injective et $a,a'\in E$ distincts tels que $f(a')=f(a)$ . Posons $A=\{a\}$ et $A'=\{a'\}$ . Alors, $f\left(A\cap A'\right)=f(\varnothing )=\varnothing$ , tandis que $f(A)\cap f(A')=\{f(a)\}\cap \{f(a')\}=\{f(a)\}$ .
Procédons par double inclusion, l'une étant claire d'après ce qui précède. Soit $b\in f(A)\cap f(A')$ , c'est-à-dire qu'il existe $a\in A$ et $a'\in A'$ tels que $b=f(a)$ et $b=f(a')$ . Si $f$ est injective, il en résulte que $a=a'$ donc $a\in A\cap A'$ et $b=f(a)\in f(A\cap A')$

Exercice 4

$f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$ .

Solution

Soit $x\in E$ . Alors, $x\in f^{-1}(B\cup B')\Leftrightarrow f(x)\in B\cup B'\Leftrightarrow f(x)\in B{\text{ ou }}f(x)\in B'\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B){\text{ ou }}x\in f^{-1}(B')\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$ .

Exercice 5

$B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')$ .

Solution

Se déduit de l'exercice 4 exactement de la même manière que l'exercice 2 se déduisait du 1.

Exercice 6

$f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')$ .

Solution

Se démontre exactement de la même manière que l'exercice 4, en remplaçant $\cup$ par $\cap$ et ${\text{ou}}$ par ${\text{et}}$ .

Exercice 7

$f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)=\complement _{E}{f^{-1}(B)}$ .

Solution

D'après les exercices 6 et 4, $f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)$ et $f^{-1}(B)$ ont pour intersection $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$ et pour réunion $f^{-1}(F)=E$ . Ils sont donc complémentaires l'un de l'autre dans $E$ .

Exercice 8

$A\subset f^{-1}(f(A))$ .
Cette inclusion est parfois stricte.
Si $f$ est injective alors $A=f^{-1}(f(A))$ .

Solution

$x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A))$ .
Soient $f:E\to F$ une application non injective, $a,b\in E$ distincts tels que $f(a)=f(b)$ , et $A\subset E$ une partie contenant $a$ mais pas $b$ . Alors, $f^{-1}(f(A))$ contient $b$ donc n'est pas inclus dans $A$ .
Si $f$ est injective on a égalité, car la première implication dans la question 1 devient une équivalence.

Exercice 9

$f(f^{-1}(B))=B\cap \operatorname {Im} (f)$ .

Solution

${\begin{aligned}y\in f(f^{-1}(B))&\Leftrightarrow &\exists x\in f^{-1}(B)&\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &\exists x\in E&\quad f(x)\in B\quad {\text{et}}\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &\exists x\in E&\quad y\in B\quad {\text{et}}\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &y\in B&\quad {\text{et}}\quad \exists x\in E\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &y\in B&\quad {\text{et}}\quad y\in \operatorname {Im} (f).\end{aligned}}$

Exercice 10

$A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B$ .

Solution

Si $A\subset f^{-1}(B)$ alors $f(A)\subset f(f^{-1}(B))\subset B$ d'après les exercices 2 et 9.

Si $f(A)\subset B$ alors $A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(B)$ d'après les exercices 8 et 5.

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[1] D'après l'exercice 1.