< Application (mathématiques) < Exercices
On rappelle que pour tous ensembles et , désigne l'ensemble des applications de dans et l'ensemble des parties de .
On notera :
- pour « il existe une bijection entre et » ;
- pour l'ensemble (pour n'importe quel singleton ) ;
- pour l'ensemble .
On utilisera que si alors .
Exercice 1
Soient et deux bijections. Montrer que :
- ;
- ;
- si alors ;
- ;
- .
Solution
- L'application est bijective.
- L'application est bijective, de bijection réciproque . En effet, et de même, .
- Si alors l'application
- est bijective, de bijection réciproque
- L'application est bijective, de bijection réciproque .
- C'est le cas particulier du point précédent puisque — cf. chapitre « Application caractéristique » — pour tout ensemble , . Mais on peut le démontrer directement : l'application est bijective, de réciproque .
Exercice 2
Montrer que :
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Solution
- L'application est bijective, de bijection réciproque .
- D'après l'exercice précédent (point 1), et , or donc (point 3) .
- L'application est bijective.
- D'après l'exercice précédent (point 1), , et , or , et sont disjoints deux à deux donc (point 3) .
- D'après l'exercice précédent (points 1 et 2) et , or donc (point 3) .
- D'après l'exercice précédent (point 3), .
- L'application est bijective.
Exercice 3
Montrer que :
- ;
- ;
- .
Solution
- L'application définie par (où désigne la restriction de à ) est bijective, de réciproque l'application définie par . Et d'après l'exercice 1 (points 1, 4 et 2), .
- L'application définie par est bijective.
- L'application définie par est bijective.
Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.