Soit M un champ scalaire. Alors l’opérateur laplacien est l’application qui à M associe la divergence du gradient de M. Le laplacien est noté ${\displaystyle \Delta }$. Formellement :

${\displaystyle \Delta M=\mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,M\right)}$.

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$.

On définit l'opérateur laplacien vectoriel, noté Δ, par l’application qui à tout champ vectoriel ${\displaystyle {\vec {M}}}$ associe le champ vectoriel ${\displaystyle \Delta {\vec {M}}}$ dont chaque coordonnée est le laplacien de chaque coordonnée de ${\displaystyle {\vec {M}}}$.

En coordonnées cartésiennes, en dimension 3, cela donne :

${\displaystyle \Delta :M\mapsto {\begin{pmatrix}\Delta M_{x}\\\\\Delta M_{y}\\\\\Delta M_{z}\end{pmatrix}}}$.

Une quantité dont le laplacien est nul est dite harmonique. On connait des solutions exactes dans ce cas.