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Gradient cartésien et gradient cylindrique
Le gradient d'un champ scalaire est défini de telle sorte que pour toute variation de coordonnées , on ait :
- .
- Exprimer et dans un système de coordonnées cartésien. En déduire que le gradient s'écrit :
- .
- Exprimer dans un système de coordonnées cylindriques. En déduire l’expression du gradient dans ce système.
Solution question 1
Dans un repère cartésien :
- ;
- .
On pose :
- .
Il vient :
- ,
d'où :
- .
Solution question 2
Dans un repère cylindrique :
- ;
- .
Ainsi, pour que
- ,
il faut que
- .
Composition d'opérateurs
- Démontrer les quatre égalités suivantes :
- (en prenant comme définition : ) ;
- ;
- ;
- .
- Montrer, en développant les produits vectoriels sur la base , que
- .
Solution question 1
- .
- d'après le théorème de Schwarz (qui s'applique à deux fois différentiable).
d'après le théorème de Schwarz.- .
Solution question 2
On pose :
- .
Tout d’abord, on calcule le produit vectoriel entre parenthèses :
- .
Puis le deuxième produit vectoriel :
- .
Par ailleurs,
et
- .
Sans perte de généralité, nous allons nous intéresser uniquement aux composantes en :
- .
Toujours en ne s'intéressant qu'aux composantes en , on constate que
- .
La démonstration est la même pour les autres composantes.
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