1. Oui car ${\displaystyle P\mapsto P(3)}$ est une forme linéaire non nulle.
2. Oui car ${\displaystyle F}$, espace vectoriel de dimension ${\displaystyle n}$, est un sous-espace de ${\displaystyle E}$, et ce dernier est de dimension ${\displaystyle n+1}$.
3. Non car sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle F}$ (défini par une équation complexe donc deux équations réelles) est de codimension 2.
4. Non car sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle F}$ n'est même pas un sous-espace vectoriel : ${\displaystyle (2\mathrm {i} ,-\mathrm {i} )\in F}$ mais ${\displaystyle \mathrm {i} (2\mathrm {i} ,-\mathrm {i} )\notin F}$.
5. Non car ${\displaystyle F}$ n'est même pas un sous-espace vectoriel : il ne contient pas ${\displaystyle 0}$ (la matrice nulle de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(K)}$).
6. Oui car ${\displaystyle f\mapsto \int _{0}^{1}f}$ est une forme linéaire non nulle.
7. Seulement si ${\displaystyle \dim(E)=2}$.

1. ${\displaystyle F}$ est (de par sa définition) le noyau d'une forme linéaire non nulle sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ donc c'est un hyperplan, c'est-à-dire un sous-espace vectoriel de codimension ${\displaystyle 1}$. Sa dimension est par conséquent ${\displaystyle 4-1=3}$.
2. ${\displaystyle F=\left\{(x,y,z,x+y-z)\mid (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\right\}=\operatorname {Vect} \left((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)\right)}$. Puisque ces 3 vecteurs engendrent ${\displaystyle F}$ qui est de dimension 3, ils forment une base de ${\displaystyle F}$.
3. ${\displaystyle F}$ a pour équation n'importe quel multiple de celle donnée au départ : ${\displaystyle kx+ky-kz-kt=0}$, pour ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ^{*}}$ (mais la question est mal posée car ${\displaystyle F}$ a bien d'autres équations, par exemple ${\displaystyle \exp(x+y-z-t)=1}$, ou encore ${\displaystyle (x+y-z-t)^{2}+(x+y-z-t)^{4}=0}$).
4. Les supplémentaires de ${\displaystyle F}$ sont les droites vectorielles non incluses dans ${\displaystyle F}$ : ${\displaystyle \operatorname {Vect} \left((a,b,c,d)\right)}$ avec ${\displaystyle a+b-c-d\neq 0}$.

1. Même justification pour « ${\displaystyle G}$ est un hyperplan » que précédemment pour ${\displaystyle F}$ (l'application ${\displaystyle P\mapsto P(1)+P'(0)}$ — évidemment non constamment nulle — est bien une forme linéaire car ${\displaystyle P\mapsto P(1)}$ et ${\displaystyle P\mapsto P'(0)}$ le sont ; la seconde l'est comme composée de l'application linéaire ${\displaystyle P\mapsto P'}$ et de la forme linéaire ${\displaystyle Q\mapsto Q(0)}$). Donc ${\displaystyle \dim G=\dim \mathbb {R} _{2}[X]-1=3-1=2}$.
2. Si ${\displaystyle P=aX^{2}+bX+c}$ alors ${\displaystyle P(1)+P'(0)=a+2b+c}$. Donc ${\displaystyle G=\left\{aX^{2}+bX-a-2b\mid (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}=\operatorname {Vect} \left(X^{2}-1,X-2\right)}$. Par le même raisonnement que pour ${\displaystyle F}$, ces deux polynômes forment une base de ${\displaystyle G}$.
3. Avec les mêmes notations que dans la question précédente, « les » équations de ${\displaystyle G}$ (mais voir la contestation précédente pour ${\displaystyle F}$) sont ${\displaystyle ka+2kb+kc=0}$, pour ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ^{*}}$.
4. Les supplémentaires de ${\displaystyle G}$ sont les droites ${\displaystyle \operatorname {Vect} \left(aX^{2}+bX+c\right)}$ avec ${\displaystyle a+2b+c\neq 0}$.

Soient ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{p}}$ des formes linéaires sur ${\displaystyle E}$ de noyaux respectifs ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{p}}$. Alors, ${\displaystyle H}$ est le noyau de l'application ${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{p}):E\mapsto K^{p}}$ donc d'après le théorème du rang, ${\displaystyle n=\dim(H)+\dim(\operatorname {Im} f)\leq \dim(H)+p}$.

On peut aussi procéder par récurrence, en remarquant que ${\displaystyle H}$ est soit égal à ${\displaystyle G:=H_{1}\cap \dots \cap H_{p-1}}$ soit un hyperplan de ${\displaystyle G}$, selon que la forme linéaire dont ${\displaystyle H_{p}}$ est le noyau est nulle ou pas sur ${\displaystyle G}$.