Dans ce cas, la suite (u_n)_n∈ℕ est définie par :

${\displaystyle \forall n\qquad u_{n}=\sum _{k=1}^{n}f(k)~}$

ou, sous réserve de convergence, par :

${\displaystyle \forall n\qquad u_{n}=\sum _{k=n}^{\infty }f(k)~}$.

Nous allons, à titre d’illustration, traiter deux exemples très classiques que l’on rencontre assez souvent. Les autres cas pourront se traiter de la même façon.

Chacun des deux exemples sera traité de façon différente pour mettre en œuvre deux méthodes différentes. Le premier exemple utilisera un encadrement par des intégrales et le deuxième exemple utilisera un encadrement grâce à l’inégalité des accroissements finis. (On peut aussi traiter ces deux exemples — et étendre le premier au cas α > –1 — par le théorème de Stolz-Cesàro.)

Exemple 1

Soit α > 0 et soit (u_n)_n∈ℕ la suite définie par :

${\displaystyle \forall n\qquad u_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{\alpha }}$.

Nous allons encadrer u_n par des intégrales.

Considérons pour x ≥ 0, la fonction f(x) = x^α. On a alors f’(x) = αx^α–1 > 0.

La fonction f est donc croissante.

${\displaystyle \int _{k-1}^{k}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x\leqslant k^{\alpha }\leqslant \int _{k}^{k+1}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\int _{k-1}^{k}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x\leqslant \sum _{k=1}^{n}k^{\alpha }\leqslant \sum _{k=1}^{n}\int _{k}^{k+1}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int _{0}^{n}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x\leqslant u_{n}\leqslant \int _{1}^{n+1}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x}$,

ce qui donne :

${\displaystyle {\frac {n^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\leqslant u_{n}\leqslant {\frac {(n+1)^{\alpha +1}-1}{\alpha +1}}}$.

Or ${\displaystyle (n+1)^{\alpha +1}\sim n^{\alpha +1}}$ et ${\displaystyle 1=o\left(n^{\alpha +1}\right)}$ donc dans l'encadrement ci-dessus, la suite majorante est équivalente à la suite minorante. D’après le théorème de l’encadrement, on en déduit :

Exemple 2

Soit α > 1. Nous savons qu'alors, la série de Riemann :

${\displaystyle \sum _{k}{\frac {1}{k^{\alpha }}}}$

converge.

Nous pouvons donc définir la suite (u_n)_n∈ℕ par :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad u_{n}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}}$.

Considérons la fonction f définie sur l’ensemble des réels strictement positifs par :

${\displaystyle f(x)={\frac {-1}{(\alpha -1)x^{\alpha -1}}}}$.

Cette fonction est dérivable, de dérivée :

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x^{\alpha }}}}$.

En appliquant l’inégalité des accroissements finis sur l’intervalle [k, k+1], on obtient :

${\displaystyle \forall k\geq 1\qquad {\frac {1}{(k+1)^{\alpha }}}\leqslant f(k+1)-f(k)\leqslant {\frac {1}{k^{\alpha }}}}$

donc

${\displaystyle \forall k>1\qquad f(k+1)-f(k)\leqslant {\frac {1}{k^{\alpha }}}\leqslant f(k+2)-f(k+1)}$

et en sommant les trois membres de k = n > 1 jusqu'à k = p :

${\displaystyle \sum _{k=n}^{p}\left(f(k+1)-f(k)\right)\leqslant \sum _{k=n}^{p}{\frac {1}{k^{\alpha }}}\leqslant \sum _{k=n}^{p}\left(f(k)-f(k-1)\right)}$.

Par télescopage, il nous reste :

${\displaystyle f(p+1)-f(n)\leqslant \sum _{k=n}^{p}{\frac {1}{k^{\alpha }}}\leqslant f(p)-f(n-1)}$

et en faisant tendre p vers +∞ :

${\displaystyle \forall n>1\qquad -f(n)\leqslant u_{n}\leqslant -f(n-1)}$.

Or

${\displaystyle -f(n)={\frac {1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}}}$

et

${\displaystyle -f(n-1)={\frac {1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}(1-1/n)^{\alpha -1}}}\sim {\frac {1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}}}$.

D’après le théorème de l’encadrement, on en déduit :