Équations et fonctions du second degré/Factorisation d'un trinôme

Factorisation d'un trinôme

Rappels :

Une valeur particulière $x_{0}$ telle que $f(x_{0})=0$ est appelée racine de la fonction trinôme ƒ.
On appelle discriminant le nombre $\Delta =b^{2}-4ac$ . Ce nombre est dit discriminant parce que, selon son signe, on peut connaître le nombre de solutions réelles de l'équation ƒ(x) = 0 d'inconnue x.

Théorème

Lorsqu'un nombre $x_{0}$ est racine d'une fonction trinôme, alors l’expression de cette fonction trinôme peut se factoriser par $(x-x_{0})$ .

En d'autres termes, soit ƒ la fonction trinôme $f:x\mapsto ax^{2}+bx+c$ :

Si ƒ possède deux racines x₁ et x₂, on peut factoriser ƒ de la manière suivante : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Si ƒ est de discriminant nul, il admet une racine double x₀ et on peut factoriser ƒ de la manière suivante : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=a(x-x_{0})^{2}$
Si ƒ est de discriminant strictement négatif, alors ƒ ne se factorise tout simplement pas dans $\mathbb {R}$ .

Exemples

Exemple détaillé

Factoriser le polynôme suivant f(x) = 3x² + 11x − 4.

Solution

f est un polynôme du second degré avec a = 3, b = 11 et c = −4.

{\begin{aligned}\Delta &=11^{2}-4\times 3\times (-4)\\&=121+48\\&=169\end{aligned}}

Δ > 0, le polynôme a deux racines :

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-11-{\sqrt {169}}}{2\times 3}}\\&={\frac {-11-13}{6}}\\&={\frac {-24}{6}}\\&=-4\end{aligned}}

et

{\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-11+{\sqrt {169}}}{2\times 3}}\\&={\frac {-11+13}{6}}\\&={\frac {2}{6}}\\&={\frac {1}{3}}\end{aligned}}

On a donc :

f(x)=3(x-(-4))(x-{\tfrac {1}{3}})=(x+4)(3x-1)

.

Autres exemples

Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants. On pourra réutiliser les résultats de la page précédente.

$f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ ;
$f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$ ;
$f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$ ;
$f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$ .

Solution

Les racines de $f_{1}$ sont $x_{1}=-1$ et $x_{2}=-{\frac {1}{2}}$ .
On factorise : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{1}(x)=2(x+1)\left(x+{\frac {1}{2}}\right)$ .
$f_{2}$ est de discriminant strictement négatif, donc ne se factorise pas dans $\mathbb {R}$ .
Les racines de $f_{3}$ sont $x_{1}=-{\sqrt {3}}$ et $x_{2}={\sqrt {3}}$ .
On factorise : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{3}(x)=-(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$ .
Les racines de $f_{4}$ sont $x_{1}=0$ et $x_{2}=-{\frac {1}{3}}$ .
On factorise : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{4}(x)=-3x\left(x+{\frac {1}{3}}\right)$ .

Factorisation et calcul de racines

Trouver plus simplement les racines

Parfois, le polynôme admet une racine évidente. Au lieu de se farcir le calcul du discriminant puis celui des racines, il est parfois plus court de factoriser le polynôme en connaissant une racine pour trouver l'autre.

Tout d’abord, qu'est-ce qu'une racine évidente ?

On appelle « racine évidente » toute racine facile à trouver ! En pratique, on essaye pour un trinôme ƒ, de calculer ƒ(0), ƒ(1), et ƒ(-1). Si on trouve 0, on tient une racine de ƒ.

Il devient facile de trouver l'autre racine. Par exemple, prenons la fonction $f:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ .

On s'aperçoit que $f(-1)=0$
On sait alors que ƒ se factorise par (x + 1). Si on note α la deuxième racine de ƒ, on a $f(x)=2(x+1)(x-\alpha )$ .
Pour trouver α, on développe le terme constant de ƒ : $2\times 1\times (-\alpha )=1$
On en déduit $\alpha =-{\frac {1}{2}}$

On a alors trouvé les racines de ƒ.

Enfin, il ne faut pas oublier les identités remarquables ! $g(x)=-x^{2}+3$ est de la forme $a^{2}-b^{2}$ , donc se factorise directement en $g(x)=-(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$ , ce qui donne les racines de g.

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