Équations et fonctions du second degré/Exercices/Vers la forme développée

Exercice 1

Développement

Développer les expressions suivantes :

$f_{1}(x)=2(x+4)^{2}-16$ ;
$f_{2}(x)=-3(x-3)^{2}-25$ ;
$f_{3}(x)=-(x-1)^{2}-3$ ;
$f_{4}(x)={\frac {2}{3}}\left(x-{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}$ .

Solution

$2x^{2}+16x+16$ ;
$-3x^{2}+18x-52$ ;
$-x^{2}+2x-4$ ;
${\frac {2}{3}}x^{2}-2x+{\frac {5}{6}}$ .

Variations et extrema : en utilisant la forme canonique

1) a) Quelle est l'image de $-4$ par $f_{1}$ ?

b)

f_{2}

vaut

-25

en

x=.....

.

c)

f_{2}

a pour m.........um

-25

.

d)

f_{3}

a pour m.........um

-3

, atteint pour

x=......

.

e)

f_{4}

a pour m.........um ....., atteint pour

x=......

.

Solution

a) $f_{1}(-4)=-16$ .

b) $f_{2}(3)=-25$ .

c) $f_{2}$ a pour maximum $-25$ .

d) $f_{3}$ a pour maximum $-3$ , atteint pour $x=1$ .

e) $f_{4}$ a pour minimum $-{\frac {2}{3}}$ , atteint pour $x={\frac {3}{2}}$ .

2) a) $f_{1}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

b)

f_{2}

est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

c)

f_{3}

est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

d)

f_{4}

est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

Solution

a) $f_{1}$ est croissante sur $\left[-4,\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-4\right]$ .

b) $f_{2}$ est croissante sur $\left]-\infty ,3\right]$ et décroissante sur $\left[3,\infty \right[$ .

c) $f_{3}$ est croissante sur $\left]-\infty ,1\right]$ et décroissante sur $\left[1,\infty \right[$ .

d) $f_{4}$ est croissante sur $\left[{\frac {3}{2}},\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,{\frac {3}{2}}\right]$ .

Équations

Déterminer les antécédents de $0$ par $f_{2}$ (sans calcul).
Résoudre dans $\mathbb {R}$ : $-x^{2}+2x-4=-7$ .
Déterminer les antécédents de $18$ par $f_{1}$ en résolvant une équation.

Solution

$f_{2}(x)\leq -25<0$ .
$f_{3}(x)=-7\Leftrightarrow (x-1)^{2}=4\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow x=3{\text{ ou }}-1$ .
$f_{1}(x)=18\Leftrightarrow (x+4)^{2}=17\Leftrightarrow x=-4\pm {\sqrt {17}}$ .

Exercice 2

Développement

Développer les expressions suivantes :

$f_{1}(x)=-2\left(x-4\right)^{2}-16$ ;
$f_{2}(x)=\left(x+3\right)^{2}-25$ ;
$f_{3}(x)=\left(x+1\right)^{2}-3$ ;
$f_{4}(x)=-{\frac {2}{3}}\left(x-{\frac {5}{2}}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}$ .

Solution

$-2x^{2}+16x-48$ ;
$x^{2}+6x-16$ ;
$x^{2}+2x-2$ ;
$-{\frac {2}{3}}x^{2}+{\frac {10}{3}}x-{\frac {29}{6}}$ .

Variations et extrema : en utilisant la forme canonique

1) a) $f_{1}$ a pour m.........um ....., atteint pour $x=......$ .

b)

f_{2}

a pour m.........um ....., atteint pour

x=......

.

c)

f_{3}

a pour m.........um ....., atteint pour

x=......

.

d)

f_{4}

a pour m.........um ....., atteint pour

x=......

.

Solution

a) $f_{1}$ a pour maximum $-16$ , atteint pour $x=4$ .

b) $f_{2}$ a pour minimum $-25$ , atteint pour $x=-3$ .

c) $f_{3}$ a pour minimum $-3$ , atteint pour $x=-1$ .

d) $f_{4}$ a pour maximum $-{\frac {2}{3}}$ , atteint pour $x={\frac {5}{2}}$ .

2) a) $f_{1}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

b)

f_{2}

est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

c)

f_{3}

est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

d)

f_{4}

est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

Solution

a) $f_{1}$ est croissante sur $\left]-\infty ,4\right]$ et décroissante sur $\left[4,\infty \right[$ .

b) $f_{2}$ est croissante sur $\left[-3,\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-3\right]$ .

c) $f_{3}$ est croissante sur $\left[-1,\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-1\right]$ .

d) $f_{4}$ est croissante sur $\left]-\infty ,{\frac {5}{2}}\right]$ et décroissante sur $\left[{\frac {5}{2}},\infty \right[$ .

Antécédents et équations

Déterminer sans calculs les antécédents de $-2$ par $f_{1}$ .
Déterminer en résolvant une équation les antécédents de $0$ par $f_{2}$ .
Résoudre l'équation $x^{2}+2x-2=0$ .

Solution

$f_{1}(x)\leq -16<-2$ .
$f_{2}(x)=0\Leftrightarrow \left(x+3\right)^{2}=25\Leftrightarrow x+3=\pm 5\Leftrightarrow x=2{\text{ ou }}-8$ .
$f_{3}(x)=0\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=3\Leftrightarrow x=-1\pm {\sqrt {3}}$ .

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