Équation du troisième degré/Simplification des racines

Dans le chapitre précédent, nous avons vu apparaître des racines cubiques de nombres complexes ou de nombres quadratiques. Nous allons donc voir dans ce chapitre des méthodes permettant, quand cela est possible, d'extraire les racines cubiques des nombres complexes ou quadratiques. Nous verrons ensuite comment présenter les racines d'une équation du troisième degré, ayant trois racines réelles, sous forme trigonométrique afin de disposer de formule ne faisant plus intervenir les nombres complexes.

Extraction des racines cubiques d'un nombre complexe

Supposons que nous voulions extraire les trois racines cubiques d'un nombre complexe dont l'écriture algébrique serait a + bi. Cela revient à trouver trois couples de nombres réels (x, y) vérifiant :

(x+yi)^{3}=a+bi~

Nous appliquerons la méthode suivante :

Principe de la méthode d'extraction des racines cubiques d'un nombre complexe

Soit à résoudre l'équation d'inconnues x et y :

$(x+yi)^{3}=a+bi~$

avec a, b réels.

On procède ainsi :

On appellera c la racine cubique réelle de :

$a^{2}+b^{2}~$

On résout l'équation du troisième degré suivante :

$4x^{3}-3cx-a=0~$

On retiendra pour x la plus simple des trois racines.

y sera alors donné par la formule :

$y={\frac {b}{4x^{2}-c}}~$

Les trois racines de $a+bi$ seront alors :

$x+yi,\qquad j(x+yi),\qquad j^{2}(x+yi)~$

Démonstration

Nous devons résoudre :

$(x+yi)^{3}=a+bi~$

En développant le premier membre, nous obtenons :

$(x^{3}-3xy^{2})+(3x^{2}y-y^{3})i=a+bi~$

Par identification , nous obtenons :

${\begin{cases}x^{3}-3xy^{2}=a\\3x^{2}y-y^{3}=b\end{cases}}$

Remarquons que

$x+yi={\frac {x^{2}+y^{2}}{x-yi}}~$

et que

$a+bi={\frac {a^{2}+b^{2}}{a-bi}}~$

De telle sorte que l'équation à résoudre peut s'écrire :

$(x-yi)^{3}={\frac {(x^{2}+y^{2})^{3}}{a^{2}+b^{2}}}(a-bi)~$

Si on développe et que l’on identifie comme précédemment nous obtenons :

${\begin{cases}x^{3}-3xy^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})^{3}}{a^{2}+b^{2}}}a\\-3x^{2}+y^{3}=-{\frac {(x^{2}+y^{2})^{3}}{a^{2}+b^{2}}}b\end{cases}}$

Or

$x^{3}-3xy^{2}=a~$

d'où $(x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}+b^{2}~$

et donc

$x^{2}+y^{2}=(a^{2}+b^{2})^{1/3}~$ ( racine cubique réelle)

Appelons c la racine cubique réelle de

$a^{2}+b^{2}~$ .

Il vient alors que :

$y^{2}=c-x^{2}~$ ,

valeur que l’on peut substituer dans l'égalité :

$x^{3}-3xy^{2}=a~$ .

Ce qui donne :

$x^{3}-3x(c-x^{2})=a~$

ou encore

$4x^{3}-3cx-a=0~$ .

Pour le calcul de y, on reprend l'égalité

$3x^{2}y-y^{3}=b~$

d'où

$y(3x^{2}-y^{2})=b~$

ou encore

$y(4x^{2}-c)=b~$

ce qui donne

$y={\frac {b}{4x^{2}-c}}~$

Compléments :

Nous aurions pu résoudre l'équation :

$(x+yi)^{3}=a+bi~$

de façon plus "classique" de la façon suivante :

Soit

$z=x+iy=|z|e^{it},z^{3}=a+ib~$

D'où

$|z|^{3}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},cos(3t)={\frac {a}{|z|^{3}}}~$

Or

$cos(3t)=4cos(t)^{3}-3cos(t)~$

D'où

$4cos(t)^{3}-3cos(t)={\frac {a}{|z|^{3}}}~$

Soit encore

$4|z|^{3}cos(t)^{3}-3|z|^{3}cos(t)-a=0~$

Or

$x=|z|cos(t)~$

Donc

$4x^{3}-3|z|^{2}x-a=0~$

Cette équation est identique à l'équation obtenue précédemment; il suffit de voir que :

$|z|^{3}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},|z|={\sqrt {c}}~$

avec c racine cubique réelle de

$a^{2}+b^{2}~$

ainsi défini précédemment.

Exemple de calcul de racines cubiques

Recherchons les trois racines cubiques du nombre 18 + 26i.

on pose a = 18 et b = 26. D'où c = 10.

Remplaçons dans l'équation :

4x^{3}-3cx-a=0~

On obtient :

4x^{3}-30x-18=0~

Si cette équation admet une racine rationnelle de la forme

{\frac {p}{q}}~

alors nous savons que p est à rechercher parmi les diviseurs de 18 et q parmi les

diviseurs de 4. Nous voyons rapidement que :

x=3~

est solution évidente. Calculons ensuite y :

y={\frac {3bx}{8x^{3}+a}}={\frac {3\times 26\times 3}{8\times 3^{3}+18}}=1~

Les trois racines de 18 + 26i sont donc :

3+i~

j(3+i)=(-{\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}})(3+i)=-{\frac {3+{\sqrt {3}}}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}-1}{2}}i~

j^{2}(3+i)=(-{\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}})^{2}(3+i)=-{\frac {3-{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {1+3{\sqrt {3}}}{2}}i~

Extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique

Définition d'un corps quadratique

Le corps quadratique noté :

$\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})~$

est l’ensemble des nombres de la forme :

$a+b{\sqrt {n}}~$

a et b étant des nombres rationnels.

Nous appellerons donc nombre quadratique des nombres de la forme :

$a+b{\sqrt {n}}\qquad (a,b)\in \mathbb {Q} ^{2}~$

Supposons que nous voulions extraire les trois racines cubiques d'un nombre quadratique dont l'écriture serait $a+b{\sqrt {n}}$ . cela revient à trouver trois couples de nombres réels (x, y) vérifiant :

$(x+y{\sqrt {n}})^{3}=a+b{\sqrt {n}}~$

Nous appliquerons la méthode suivante :

Principe de la méthode d'extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique

Soit à résoudre l'équation d'inconnues x et y :

$(x+y{\sqrt {n}})^{3}=a+b{\sqrt {n}}~$

avec a, b rationnels.

On procède ainsi :

On appellera c la racine cubique réelle de :

$a^{2}-nb^{2}~$

On résout l'équation du troisième degré suivante :

$4x^{3}-3cx-a=0~$

On retiendra pour x la plus simple des trois racines. y sera alors donné par la formule :

$y={\frac {b}{4x^{2}-c}}~$

Les trois racines de $a+b{\sqrt {n}}$ seront alors :

$x+y{\sqrt {n}},\qquad j(x+y{\sqrt {n}}),\qquad j^{2}(x+y{\sqrt {n}})~$

Démonstration

Nous devons résoudre :

$(x+y{\sqrt {n}})^{3}=a+b{\sqrt {n}}~$

En développant le premier membre, nous obtenons :

$(x^{3}+3nxy^{2})+(3x^{2}y+ny^{3}){\sqrt {n}}=a+b{\sqrt {n}}~$

Par identification , nous obtenons :

${\begin{cases}x^{3}+3nxy^{2}=a\\3x^{2}y+ny^{3}=b\end{cases}}$

Remarquons que $x+y{\sqrt {n}}={\frac {x^{2}-ny^{2}}{x-y{\sqrt {n}}}}~$ et que $a+b{\sqrt {n}}={\frac {a^{2}-nb^{2}}{a-b{\sqrt {n}}}}~$

De telle sorte que l'équation à résoudre peut s'écrire :

$(x-y{\sqrt {n}})^{3}={\frac {(x^{2}-ny^{2})^{3}}{a^{2}-nb^{2}}}(a-b{\sqrt {n}})~$

Si on développe et que l’on identifie comme précédemment nous obtenons :

${\begin{cases}x^{3}+3nxy^{2}={\frac {(x^{2}-ny^{2})^{3}}{a^{2}-nb^{2}}}a\\-3x^{2}-ny^{3}=-{\frac {x^{2}-ny^{2})^{3}}{a^{2}-nb^{2}}}b\end{cases}}$

Or

$x^{3}+3nxy^{2}=a~$

d'où $(x^{2}-ny^{2})^{3}=a^{2}-nb^{2}~$

et donc

$x^{2}-ny^{2}=(a^{2}-nb^{2})^{1/3}~$ ( racine cubique réelle)

Appelons c la racine cubique réelle de

$a^{2}-nb^{2}~$ .

Il vient alors que :

$ny^{2}=x^{2}-c~$ ,

valeur que l’on peut substituer dans l'égalité :

$x^{3}+3nxy^{2}=a~$ .

Ce qui donne :

$x^{3}+3x(x^{2}-c)=a~$

ou encore

$4x^{3}-3cx-a=0~$ .

Pour le calcul de y, on reprend l'égalité

$3x^{2}y+ny^{3}=b~$

d'où

$y(3x^{2}+ny^{2})=b~$

ou encore

$y(4x^{2}-c)=b~$

ce qui donne

$y={\frac {b}{4x^{2}-c}}~$

Présentation trigonométrique des racines d'une équation ayant trois racines réelles

La représentation trigonométrique des racines d'une équation ayant trois racines réelles est basée sur la propriété suivante :

Propriété

Pour tous réels $s\neq 0$ et $r$ , l'une des trois racines cubiques complexes de $r+\mathrm {i} s$ (pas n'importe laquelle), que nous noterons ${\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}$ , et son conjugué, que nous noterons ${\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}$ (et qui est une racine cubique de $r-\mathrm {i} s$ ), vérifient :

${\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+{\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}=2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\arccos {\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}}{3}}\right)$ .
$\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}$ $\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}$ et $\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}$ $\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}$ sont égaux à
$2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}\right)+2\pi }{3}}\right)$ $2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}\right)+2\pi }{3}}\right)$ et $2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}\right)-2\pi }{3}}\right)$ $2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}\right)-2\pi }{3}}\right)$ :
- dans le même ordre si $s>0$ ;
- dans l'ordre inverse si $s<0$ .

Démonstration

Supposons par exemple $s>0$ (le cas $s<0$ s'en déduit en intervertissant $s$ et $-s$ , ou se démontre de même : essayez de le faire à titre d'exercice !), et posons :

{\displaystyle \theta

.

Alors, de par la définition de la fonction $\arccos$ :

{\begin{cases}\cos \theta ={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}},\\\sin \theta ={\frac {s}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}.\end{cases}}

Grâce à la formule de Moivre, on en déduit :

\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\theta }{3}}\right)^{3}=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta ={\frac {r+\mathrm {i} s}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}

donc on peut poser

{\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}:={\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\theta }{3}}\right)

et l'on a alors :

{\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}:={\overline {\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}}={\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-\mathrm {i} \sin {\frac {\theta }{3}}\right)

.

Ces choix de ${\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}$ et ${\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}$ permettent d'écrire :

${\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+{\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}={\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\theta }{3}}\right)+{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-\mathrm {i} \sin {\frac {\theta }{3}}\right)=2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos {\frac {\theta }{3}}$ ;
$\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}={\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\left(\operatorname {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}+{\frac {\theta }{3}}}+\operatorname {e} ^{-{\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\theta }{3}}}\right)=2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\theta +2\pi }{3}}\right)$ ;
$\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{r+\mathrm {i} s}}+\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{r-\mathrm {i} s}}={\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\left(\operatorname {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\theta }{3}}}+\operatorname {e} ^{-{\frac {2\pi }{3}}+{\frac {\theta }{3}}}\right)=2{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}\cos \left({\frac {\theta -2\pi }{3}}\right)$ .

En se servant des deux propriétés précédentes, nous allons pouvoir exprimer autrement les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles.

Reprenons le calcul !

Nous devions résoudre l'équation :

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~

En faisant le changement de variable :

x=z-{\frac {b}{3a}}

,

nous avions obtenu une équation de la forme :

z^{3}+pz+q=0

dont le discriminant est :

\Delta =-(4p^{3}+27q^{2})

.

et nous avons vu qu'alors si Δ > 0, c'est-à-dire $4p^{3}+27q^{2}<0$ , les racines de l'équation à résoudre étaient :

$x_{0}=u_{0}+{\overline {u_{0}}}-{\frac {b}{3a}}$ ;

$x_{1}=\mathrm {j} u_{0}+{\overline {\mathrm {j} u_{0}}}-{\frac {b}{3a}}$ ;

$x_{2}=\mathrm {j} ^{2}u_{0}+{\overline {\mathrm {j} ^{2}u_{0}}}-{\frac {b}{3a}}$

où $u_{0}$ est n'importe laquelle des trois racines cubiques de ${\frac {-q+\mathrm {i} {\sqrt {\frac {\Delta }{27}}}}{2}}$ .

Poursuivons alors le calcul en utilisant les propriétés établies en début de paragraphe.

Pour cela, compte tenu de ce qui précède, il suffit de poser :

r={\frac {-q}{2}}

;

s={\frac {\sqrt {\frac {\Delta }{27}}}{2}}={\frac {\sqrt {-q^{2}-{\frac {4p^{3}}{27}}}}{2}}

.

Nous obtenons alors :

r^{2}+s^{2}={\frac {-p^{3}}{27}}

et par suite :

{\sqrt[{6}]{r^{2}+s^{2}}}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}

.

D'autre part :

{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}={\frac {\frac {-q}{2}}{\sqrt {\frac {-p^{3}}{27}}}}={\frac {-q}{2}}{\frac {3}{-p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}

.

Dans ce calcul, nous avons tenu compte du fait que p est négatif. En effet,

4p^{3}<-27q^{2}\leq 0

.

En utilisant alors les propriétés du début du paragraphe, nous retrouvons (cf. chapitre précédent) que les racines de l'équation à résoudre sont :

x_{0}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}

;

x_{1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+2\pi }{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}

;

x_{2}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-2\pi }{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}

.

L'intérêt de présenter les racines d'une équation du troisième degré ayant trois racines réelles sous cette forme est de s'affranchir des nombres complexes.

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