Fonctions circulaires réciproques/Fonction arccos

La fonction cosinus est une surjection de $\mathbb {R}$ vers $[-1,1]$ . Elle devient bijective si l’on ne considèrent que les angles compris dans un intervalle de la forme $[k\pi ,(k+1)\pi ],\ k\in \mathbb {Z}$ , car sa restriction à un tel intervalle est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple, $[0,\pi ]$ , et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :

La fonction arc cosinus

Définition

On appelle arccosinus, et l'on note $\arccos$ , la bijection de $[-1,1]$ dans $[0,\pi ]$ qui,

à tout réel $x\in [-1,1]$ , associe l'unique réel $\theta \in [0,\pi ]$ tel que $\cos \theta =x$ .

Autrement dit :

\arccos x=\theta \Leftrightarrow x=\cos \theta \quad {\text{et}}\quad \theta \in [0,\pi ]

.

Exemples

$\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ et ${\frac {\pi }{4}}\in [0,\pi ]$ donc $\arccos {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\pi }{4}}$ .
$\cos -{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}$ mais $\arccos {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}$ ( $-{\frac {\pi }{3}}\notin [0,\pi ]$ ).

La courbe représentative de $\arccos$ se déduit de celle de la fonction cosinus (restreinte à $[0,\pi ]$ ) par symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.

Courbe représentative de

\arccos

.

Remarques

$\forall \theta \in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos \theta )=\theta$ .
$\forall x\in \left[-1,1\right]\quad \cos(\arccos x)=x$ et $\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ .

Variations

Puisque $\cos$ est continue et strictement décroissante sur $[0,\pi ]$ , on a :

Propriété

La fonction $\arccos$ est continue et strictement décroissante sur $[-1,1]$ .

Tableau de variation

x

-1

+1

\arccos x

$\pi$
	$\searrow$
		$0$

Dérivée

Théorème

La fonction $\arccos$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et

\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

.

Démonstration

Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections ${\displaystyle f=\cos$ et ${\displaystyle f^{-1}=\arccos$ .

Puisques:

\forall \theta \in \left]0,\pi \right[\quad \cos '\theta =-\sin \theta \neq 0

,

la fonction $\arccos$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et

\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arccos '(x)={\frac {1}{-\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{-{\sqrt {1-x^{2}}}}}

.

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