Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur

Un circuit comprend un générateur de force électromotrice $V_{in}$ , une résistance R et un condensateur C en série.

La tension $V_{C}$ aux bornes du condensateur est égale à la somme des tensions aux bornes du générateur $V_{in}$ et de la résistance $V_{R}$ , donc :

V_{C}(t)+Ri(t)=V_{in}

.

La charge du condensateur et l'intensité du courant produit sont liés par la relation :

i(t)=q'(t)

.

Expression de q(t)

Démontrer que $Rq'+{\frac {1}{C}}q=V_{in}$ .
Résoudre cette équation différentielle.
Si le condensateur est sans charge initiale, exprimer q en fonction de t.

Solution

$V_{in}=V_{C}+ri={\frac {q}{C}}+Rq'$ .
Les solutions sont $q(t)=CV_{in}+\lambda \operatorname {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}$ , avec $\lambda \in \mathbb {R}$ .
La solution nulle en 0 est $q(t)=CV_{in}\left(1-\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}\right)$ .

La constante de temps

Déterminer la charge finale Q du condensateur, c'est-à-dire la limite de la fonction q en $+\infty$ .
On note $\tau =RC$ . À quel pourcentage de sa charge maximale Q le condensateur est-il chargé après une durée de charge égale à $\tau$ ; à $5\tau$ ?

Solution

$Q:=\lim _{t\to +\infty }\left(CV_{in}+\lambda \operatorname {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}\right)=CV_{in}$ .
L'énoncé semble supposer implicitement qu'il s'agit, désormais, de la solution nulle en 0, $q(t)=Q\left(1-\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$ . Alors, ${\frac {q(\tau )}{Q}}=1-\operatorname {e} ^{-1}\approx 0{,}632$ (soit 63,2 %) et ${\frac {q(5\tau )}{Q}}=1-\operatorname {e} ^{-5}\approx 0{,}993$ (soit 99,3 %).

Étude de la fonction q

Préciser les variations de la fonction $q$ .
Vérifier que la droite $(OT)$ , où $T$ a pour coordonnées $(\tau ,Q)$ , est la tangente à la courbe $C_{q}$ à l'origine O.
Tracer $C_{q}$ , sa tangente en O, son asymptote horizontale dans le cas où $C=1\;\mathrm {F}$ , $R=100\;\Omega$ et $V_{in}=5\;\mathrm {V}$ pour $t\in \left[0,5\tau \right]$ .

Solution

Quand $t$ varie de $0$ à $+\infty$ , $q$ croît de $0$ à $Q$ .
$q(0)=0$ et $q'(0)={\frac {Q}{\tau }}$ .
Il suffit d'appliquer les résultats précédents à $Q=5,\tau =100$ .

Étude de l'intensité i(t) et de sa courbe Γ

Démontrer que $i(t)={\frac {V_{in}}{R}}\operatorname {e} ^{\frac {-t}{\tau }}$ .
Préciser les variations de $i$ .
Vérifier que la droite $(AT')$ , où $T'$ a pour coordonnées $(\tau ,0)$ et où A est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec $\Gamma$ , est tangente à $\Gamma$ en A.
Tracer $(AT')$ et $\Gamma$ dans le cas où $C=1\;\mathrm {F}$ , $R=100\;\Omega$ et $V_{in}=5\;\mathrm {V}$ pour $t\in \left[0,5\tau \right]$ .

Solution

$i(t)=q'(t)={\frac {Q}{\tau }}\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}$ et ${\frac {Q}{\tau }}={\frac {CV_{in}}{RC}}={\frac {V_{in}}{R}}$ .
Quand $t$ varie de $0$ à $+\infty$ , $i$ décroît de ${\frac {V_{in}}{R}}$ à $0$ .
Au point $A$ , de coordonnées $\left(0,{\frac {V_{in}}{R}}\right)$ , la tangente à $\Gamma$ a pour pente $i'(0)=-{\frac {V_{in}}{R\tau }}$ . Son équation est donc $y={\frac {V_{in}}{R}}\left(1-{\frac {x}{\tau }}\right)$ et elle passe par $T'$ .
Il suffit d'appliquer les résultats précédents à ${\frac {V_{in}}{R}}=0{,}05,\tau =100$ .

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