1. L'équation est sous forme normale.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}+2r-3=0\Leftrightarrow (r-1)(r+3)=0}$ (en voyant que 1 est solution évidente)

${\displaystyle \Leftrightarrow r=1}$ ou ${\displaystyle r=-3}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

2. Mettons l'équation sous forme normale : ${\displaystyle y''-{\frac {2}{3}}\,y'+{\frac {1}{9}}\,y=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}-{\frac {2}{3}}\,r+{\frac {1}{9}}=0\Leftrightarrow \left(r-{\frac {1}{3}}\right)^{2}=0}$ (on reconnait un carré parfait)

${\displaystyle \Leftrightarrow r={\frac {1}{3}}}$ (solution double).

Donc ${\displaystyle y=\left(\lambda \,x+\mu \right)\,e^{\frac {x}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

3. Mettons l'équation sous forme normale : ${\displaystyle y''+y'+{\frac {1}{4}}\,y=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}+r+{\frac {1}{4}}=0\Leftrightarrow \left(r+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=0}$ (on reconnait un carré parfait)

${\displaystyle \Leftrightarrow r=-{\frac {1}{2}}}$ (solution double).

Donc ${\displaystyle y=\left(\lambda \,x+\mu \right)\,e^{-{\frac {x}{2}}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

4. Mettons l'équation sous forme normale : ${\displaystyle y''+{\frac {1}{9}}=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}+{\frac {1}{9}}=0\Leftrightarrow r=\pm {\frac {i}{3}}}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,\cos {\frac {x}{3}}+\mu \,\sin {\frac {x}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

5. Mettons l'équation sous forme normale : ${\displaystyle y''-{\frac {2}{3}}\,y'=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}-{\frac {2}{3}}r=0\Leftrightarrow r\left(r-{\frac {2}{3}}\right)=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow r=0}$ ou ${\displaystyle r={\frac {2}{3}}}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda +\mu \,e^{{\frac {2}{3}}x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

Les équations sont sous forme normale.

1.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''-2y'-3y=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}-2r-3=0\Leftrightarrow (r+1)(r-3)=0\Leftrightarrow r=-1}$ ou ${\displaystyle r=3}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{-x}+\mu \,e^{3x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''-2y'-3y=5}$.

${\displaystyle y=-{\frac {5}{3}}}$ est solution constante évidente.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{-x}+\mu \,e^{3x}-{\frac {5}{3}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

2.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''+6y'+10y=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}+6r+10=0\Leftrightarrow r=-3+i}$ ou ${\displaystyle r=-3-i}$.

Donc ${\displaystyle y=e^{-3x}\left(\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x\right),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''+6y'+10y=4}$

${\displaystyle y={\frac {4}{10}}}$ est solution constante évidente.

Donc ${\displaystyle y=e^{-3x}\left(\lambda \,\cos x+\mu \,\sin x\right)+{\frac {4}{10}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

3.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''-4y=0}$

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}-4=0\Leftrightarrow r=\pm 2}$

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{2x}+\mu \,e^{-2x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''-4y=t+1}$.

${\displaystyle y=-{\frac {t+1}{4}}}$ est solution évidente.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{2x}+\mu \,e^{-2x}-{\frac {x+1}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

4.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''-y=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}-1=0\Leftrightarrow r=\pm 1}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-x},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''-y=5x+2}$

${\displaystyle y=-(5x+2)}$ est solution évidente.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{x}+\mu \,e^{-x}-5x-2,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

5.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''-2y'+y=0}$.

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}-2r+1=0\Leftrightarrow \left(r-1\right)^{2}=0}$ (on reconnait un carré parfait)

${\displaystyle \Leftrightarrow r=1}$ (solution double).

Donc ${\displaystyle y=\left(\lambda \,t+\mu \right)\,e^{t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''-2y'+y=t^{2}-t+1}$

On cherche une solution particulière sous la forme ${\displaystyle y_{1}=at^{2}+bt+c}$

${\displaystyle y_{1}'=2at+b}$

${\displaystyle y_{1}''=2a}$

Donc ${\displaystyle y_{1}''-2y_{1}'+y_{1}=t^{2}-t+1\Leftrightarrow (2a)+(-4at-2b)+(at^{2}+bt+c)=t^{2}-t+1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow at^{2}+(b-4a)t+(2a-2b+c)=t^{2}-t+1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-4a=-1\\2a-2b+c=1\end{cases}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=3\\c=5\end{cases}}}$

Une solution particulière est donc ${\displaystyle y_{1}=t^{2}+3t+5}$.

Donc ${\displaystyle y=\left(\lambda \,t+\mu \right)e^{t}+t^{2}+3t+5,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

6.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''+y'-2y=0}$

Équation caractéristique :

${\displaystyle r^{2}+r-2=0\Leftrightarrow (r-1)(r+2)=0}$ (en voyant que 1 est solution évidente)

${\displaystyle \Leftrightarrow r=1}$ ou ${\displaystyle r=-2}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{t}+\mu \,e^{-2t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''+y'-2y=t-1}$

On cherche une solution particulière sous la forme ${\displaystyle y_{1}=at+b}$

${\displaystyle y_{1}'=a}$:${\displaystyle y_{1}''=0}$

Donc ${\displaystyle y''+y'-2y=t-1\Leftrightarrow 0+a-2at-2b=t-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}-2a=1\\a-2b=-1\end{cases}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}a=-{\frac {1}{2}}\\b={\frac {1}{4}}.\end{cases}}}$

Une solution particulière est donc ${\displaystyle y_{1}=-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{4}}}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,e^{t}+\mu \,e^{-2t}-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

1. L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''+4y'-5y=0}$.

  Équation caractéristique :

  ${\displaystyle r^{2}+4r-5=0\Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0}$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

  ${\displaystyle \Leftrightarrow r=1}$ ou ${\displaystyle r=-5}$.

  Donc ${\displaystyle y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-5t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''+4y'-5y=10}$

  ${\displaystyle y=-2}$ est solution constante évidente.

  Donc ${\displaystyle y}$ est de la forme ${\displaystyle y=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{-5t}-2,\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Détermination de ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ :

  ${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=4\\y'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu -2=4\\\lambda -5\mu =0\end{cases}}}$

  ${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}\mu =1\\\lambda =5\end{cases}}}$

Donc ${\displaystyle y=5\operatorname {e} ^{t}+\operatorname {e} ^{-5t}-2}$.

2. L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''+4y'+5y=0}$.

  Équation caractéristique :

  ${\displaystyle r^{2}+4r+5=0\Leftrightarrow (r+2)^{2}+1=0}$ (en reconnaissant le début d'un carré parfait)

  ${\displaystyle \Leftrightarrow r=-2+i}$ ou ${\displaystyle r=-2-i}$.

  Donc ${\displaystyle y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(\lambda \cos x+\mu \sin x\right),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''+4y'+5y=10x-2}$.

  On cherche une solution particulière sous la forme ${\displaystyle y_{1}=ax+b}$

  ${\displaystyle y_{1}'=a}$

  ${\displaystyle y_{1}''=0}$

  Donc ${\displaystyle y_{1}''+4y_{1}'+5y_{1}=10x-2\Leftrightarrow 4a+5ax+5b=10x-2}$

  ${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}5a=10\\4a+5b=-2\end{cases}}}$

  ${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}a=2\\b=-2\end{cases}}}$

  Une solution particulière est donc ${\displaystyle y_{1}=2x-2}$.

  Donc ${\displaystyle y}$ est de la forme ${\displaystyle y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(\lambda \cos x+\mu \sin x\right)+2(x-1),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Détermination de ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ :

  ${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda -2=1\\-2\lambda +\mu +2=1\end{cases}}}$

  ${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =3\\\mu =5\end{cases}}}$

Donc ${\displaystyle y=\operatorname {e} ^{-2x}\left(3\cos x+5\sin x\right)+2(x-1)}$.

3. Mettons l'équation sous forme normale : ${\displaystyle y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y={\frac {-3t^{2}}{2}}-5t+2}$.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y=0}$

  Équation caractéristique :

  ${\displaystyle r^{2}-{\frac {5}{2}}r-{\frac {3}{2}}=0\Leftrightarrow (r-3)(r+{\frac {1}{2}})=0}$ (en voyant que 3 est solution évidente par exemple)

  ${\displaystyle \Leftrightarrow r=3}$ ou ${\displaystyle r=-{\frac {1}{2}}}$.

  Donc ${\displaystyle y=\lambda \operatorname {e} ^{3t}+\mu \operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : ${\displaystyle y''-{\frac {5}{2}}y'-{\frac {3}{2}}y={\frac {-3t^{2}}{2}}-5t+2}$

  ${\displaystyle y_{1}=t^{2}}$ est une solution particulière relativement évidente.

  Donc ${\displaystyle y}$ est de la forme ${\displaystyle y=\lambda \operatorname {e} ^{3t}+\mu \operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t}+t^{2},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Détermination de ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ :

  ${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=-1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu =0\\3\lambda -{\frac {1}{2}}\mu =-1\end{cases}}}$

  ${\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =-{\frac {2}{7}}\\\mu ={\frac {2}{7}}\end{cases}}}$

Donc ${\displaystyle y=-{\frac {2}{7}}\operatorname {e} ^{3t}+{\frac {2}{7}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}t}+t^{2}}$.

4.

• Équation homogène associée : ${\displaystyle y''+\omega ^{2}y=0}$.

  Donc ${\displaystyle y=\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :
  • Premier cas : si ${\displaystyle \omega '\neq \omega }$.

    Une fonction de la forme ${\displaystyle y=a\cos(\omega 't)+b\sin(\omega 't)}$ est solution si et seulement si ${\displaystyle -a\omega '^{2}+\omega ^{2}=0}$ et ${\displaystyle -b\omega '^{2}+\omega ^{2}=1}$.

    Donc ${\displaystyle y}$ est de la forme ${\displaystyle y=\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)+{\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}\cos(\omega 't)+{\frac {\omega ^{2}-1}{{\omega '}^{2}}}\sin(\omega 't),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

  • Second cas : si ${\displaystyle \omega '=\omega }$.

    Une fonction de la forme ${\displaystyle y=at\cos(\omega t)+bt\sin(\omega t)}$ est solution si et seulement si ${\displaystyle 2b\omega =0}$ et ${\displaystyle -2a\omega =1}$.

    Donc ${\displaystyle y}$ est de la forme ${\displaystyle y=\left(\lambda -{\frac {t}{2\omega }}\right)\cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Détermination de ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ :
  • Premier cas : si ${\displaystyle \omega '\neq \omega }$

    ${\displaystyle \lambda +{\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}=\omega \mu +{\frac {\omega ^{2}-1}{\omega '}}=0}$.

    Donc ${\displaystyle y={\frac {\omega ^{2}}{{\omega '}^{2}}}{\Bigl (}\cos(\omega 't)-\cos(\omega t){\Bigr )}+{\frac {\omega ^{2}-1}{{\omega '}^{2}}}\left(\sin(\omega 't)-{\frac {\omega '}{\omega }}\sin(\omega t)\right)}$.

  • Second cas : si ${\displaystyle \omega '=\omega }$.

    ${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2\omega }}+\omega \mu =0}$.

    Donc ${\displaystyle y=-{\frac {t}{2\omega }}\cos(\omega t)+{\frac {1}{2\omega ^{2}}}\sin(\omega t)}$.

5. Mettons l'équation sous forme normale : ${\displaystyle y''+{\frac {\varepsilon }{m}}y'+{\frac {k}{m}}y=-g}$.

• Équation homogène associée : ${\displaystyle y''+{\frac {\varepsilon }{m}}y'+{\frac {k}{m}}y=0}$

  donc ${\displaystyle y=\operatorname {e} ^{-{\frac {\varepsilon }{2m}}t}\left(\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right),\,\omega$ :={\frac {\sqrt {4mk-\varepsilon ^{2}}}{2m}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}} .

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

  une solution évidente est la fonction constante ${\displaystyle y=-{\frac {mg}{k}}}$.

  Donc ${\displaystyle y}$ est de la forme ${\displaystyle y=\operatorname {e} ^{-{\frac {\varepsilon }{2m}}t}\left(\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right)-{\frac {mg}{k}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$, et ${\displaystyle \lim _{+\infty }y=-{\frac {mg}{k}}}$.

• Détermination de ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ :

  ${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=y_{0}\\y'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda -{\frac {mg}{k}}=y_{0}\\-{\frac {\varepsilon }{2m}}\lambda +\mu \omega =0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =y_{0}+{\frac {mg}{k}}\\\mu ={\frac {\varepsilon \lambda }{2m\omega }}.\end{cases}}}$

1. L'équation est sous forme normale et sans second membre.

Équation caractéristique : ${\displaystyle r^{2}+4=0\Leftrightarrow r=\pm 2i}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \,\cos(2t)+\mu \,\sin(2t),\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

2. Détermination de ${\displaystyle \lambda }$ et de ${\displaystyle \mu }$ :

${\displaystyle {\begin{cases}f(0)=1\\f\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {3}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda =1\\\mu ={\sqrt {3}}.\end{cases}}}$

Donc ${\displaystyle f(t)=\cos(2t)+{\sqrt {3}}\,\sin(2t)}$.

3. ${\displaystyle {\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}=2}$ et ${\displaystyle \arctan {\frac {\sqrt {3}}{1}}={\frac {\pi }{3}}}$

donc ${\displaystyle f(t)=\cos(2t)+{\sqrt {3}}\,\sin(2t)=2\cos \left(2t-{\frac {\pi }{3}}\right)}$.

4. ${\displaystyle f(t)=-{\sqrt {2}}\Leftrightarrow \cos \left(2t-{\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2t-{\frac {\pi }{3}}\equiv {\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}}$ ou ${\displaystyle 2t-{\frac {\pi }{3}}\equiv -{\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow t\equiv {\frac {13\pi }{24}}{\bmod {\pi }}}$ ou ${\displaystyle t\equiv -{\frac {5\pi }{24}}{\bmod {\pi }}}$.

Donc ${\displaystyle S=\left\{{\frac {13\,\pi }{24}}+k\pi ,-{\frac {5\pi }{24}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {R} \right\}}$.

Les solutions de ${\displaystyle u''+\lambda u=0}$ sont :

• si ${\displaystyle \lambda <0}$ : ${\displaystyle u(t)=A\mathrm {e} ^{t{\sqrt {-\lambda }}}+B\mathrm {e} ^{-t{\sqrt {-\lambda }}},\quad A,B\in \mathbb {R} }$ ;
• si ${\displaystyle \lambda =0}$ : ${\displaystyle u(t)=Ct+D,\quad C,D\in \mathbb {R} }$ ;
• si ${\displaystyle \lambda >0}$ : ${\displaystyle u(t)=E\cos \left(t{\sqrt {\lambda }}\right)+F\sin \left(t{\sqrt {\lambda }}\right),\quad E,F\in \mathbb {R} }$.

Les deux conditions ${\displaystyle u(0)=0,\quad u(\pi )=0}$ sont alors équivalentes à :

• si ${\displaystyle \lambda <0}$ : ${\displaystyle A=B=0}$ ;
• si ${\displaystyle \lambda =0}$ : ${\displaystyle C=D=0}$ ;
• si ${\displaystyle \lambda >0}$ : ${\displaystyle E=0,\quad F\sin \left(\pi {\sqrt {\lambda }}\right)=0}$.

La seule solution est donc en général ${\displaystyle u=0}$, sauf lorsque ${\displaystyle \lambda =n^{2}}$ avec ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, auquel cas les solutions sont ${\displaystyle u(t)=F\sin \left(nt\right),\quad F\in \mathbb {R} }$.

1. L'équation homogène ${\displaystyle z''-3z'+2z=0}$ a pour solutions ${\displaystyle z_{\lambda ,\mu }\left(t\right):=\lambda \operatorname {e} ^{t}+\mu \operatorname {e} ^{2t}}$ avec ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est ${\displaystyle y_{0}\left(t\right):={\frac {1}{6}}\operatorname {e} ^{-t}}$. La solution générale est ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }}$.

2. L'équation homogène ${\displaystyle z''+3z'-4z=0}$ a pour solutions ${\displaystyle z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-4x}}$ avec ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est ${\displaystyle y_{0}\left(t\right):={\frac {1}{6}}\operatorname {e} ^{2x}}$. La solution générale est ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }}$.

3. L'équation homogène ${\displaystyle z''+2z'+z=0}$ a pour solutions ${\displaystyle z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\left(\lambda x+\mu \right)\operatorname {e} ^{-x}}$ avec ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est ${\displaystyle y_{0}\left(t\right):=x^{2}\operatorname {e} ^{-x}}$. La solution générale est ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }}$.

4. L'équation homogène ${\displaystyle z''+2z'+z=0}$ a pour solutions ${\displaystyle z_{\lambda ,\mu }\left(x\right):=\left(\lambda \cos \left(x{\sqrt {3}}/2\right)+\mu \sin \left(x{\sqrt {3}}/2\right)\right)\operatorname {e} ^{x/2}}$ avec ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$. Une solution particulière de l'équation avec second membre est ${\displaystyle y_{0}\left(t\right):={\frac {6x^{2}+12x+8}{9}}\operatorname {e} ^{-x}}$. La solution générale est ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }:=y_{0}+z_{\lambda ,\mu }}$.

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''+4y=0}$.

Équation caractéristique : ${\displaystyle r^{2}+4=0\Leftrightarrow r=\pm 2i}$.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \cos(2t)+\mu \sin(2t),(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

on écrit ${\displaystyle \sin t=\Im \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)}$

et l'on cherche une solution particulière sous la forme ${\displaystyle z_{1}=a\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}$ solution de ${\displaystyle y''+4y=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}$.

${\displaystyle z_{1}'=a\mathrm {i} \operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}$, ${\displaystyle z_{1}''=-a\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}$.

Donc ${\displaystyle y''+4y=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\Leftrightarrow -a+4a=1}$ (en simplifiant directement par ${\displaystyle \operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}$) ${\displaystyle \Leftrightarrow a={\frac {1}{3}}}$

donc ${\displaystyle z_{1}={\frac {1}{3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}$.

Or ${\displaystyle y_{1}=\Im \left(z_{1}\right)}$.

Donc ${\displaystyle y_{1}={\frac {1}{3}}\sin t}$ est solution particulière à l'équation complète.

Donc ${\displaystyle y=\lambda \cos(2t)+\mu \sin(2t)+{\frac {1}{3}}\sin t,\;(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}}$.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : ${\displaystyle y''+2my'+y=0}$.

Équation caractéristique : ${\displaystyle r^{2}+2mr+1=0\Leftrightarrow r=-m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$ donc

• si ${\displaystyle m>1}$, ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }=\operatorname {e} ^{-mx}\left(\lambda \cosh(x{\sqrt {m^{2}-1}})+\mu \sinh(x{\sqrt {m^{2}-1}})\right)}$ ;
• si ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }=(\lambda +\mu x)\operatorname {e} ^{-x}}$ ;
• si ${\displaystyle m<1}$, ${\displaystyle y_{\lambda ,\mu }=\operatorname {e} ^{-mx}\left(\lambda \cos(x{\sqrt {1-m^{2}}})+\mu \sin(x{\sqrt {1-m^{2}}})\right)}$.

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

Cherchons a priori une solution ${\displaystyle y_{0}}$ de la forme ${\displaystyle A\cos x+B\sin x}$.

${\displaystyle \sin x=y_{0}''+2my_{0}'+y_{0}=2my_{0}'=2m(-A\sin x+B\cos x)\Leftrightarrow A=-{\frac {1}{2m}},B=0}$.

Finalement, ${\displaystyle y=-{\frac {\cos x}{2m}}+y_{\lambda ,\mu }}$, les constantes ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ étant déterminées par les conditions initiales :

${\displaystyle 0=y(0)=-{\frac {1}{2m}}+\lambda }$ et ${\displaystyle 0=y'(0)=\mu -m\lambda }$ donc ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2m}},\mu ={\frac {1}{2}}}$.

• Si ${\displaystyle m>1}$, ${\displaystyle y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-mx}}{2m}}\left(\cosh(x{\sqrt {m^{2}-1}})+m\sinh(x{\sqrt {m^{2}-1}})\right)}$ ;
• si ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-x}}{2m}}(1+mx)}$ ;
• si ${\displaystyle m<1}$, ${\displaystyle y=-{\frac {\cos x}{2m}}+{\frac {\operatorname {e} ^{-mx}}{2m}}\left(\cos(x{\sqrt {1-m^{2}}})+m\sin(x{\sqrt {1-m^{2}}})\right)}$.