Transversalité

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Ne doit pas être confondu avec Transversalité (sciences humaines et sociales).

Deux sous-espaces vectoriels ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ sont dits transverses quand ${\displaystyle F+G=E}$. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

${\displaystyle \operatorname {codim} (F)+\operatorname {codim} (G)=\operatorname {codim} (F\cap G)}$.

Deux sous-espaces affines ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ d'un espace affine ${\displaystyle X}$ sont dits transverses si leurs directions sont transverses^{[réf. nécessaire]}, c'est-à-dire si

${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}+{\overrightarrow {Z}}={\overrightarrow {X}}}$.

Deux sous-variétés ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ d'une variété différentielle ${\displaystyle P}$ sont dites transverses lorsque, pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle M\cap N}$, les espaces tangents ${\displaystyle \displaystyle T_{x}M}$ et ${\displaystyle \displaystyle T_{x}N}$ sont transverses dans l'espace tangent ${\displaystyle \displaystyle T_{x}P}$, c'est-à-dire si

${\displaystyle \displaystyle T_{x}P=T_{x}M+T_{x}N}$

Dans la suite, ${\displaystyle m,n,p}$ désignent les dimensions respectives de ${\displaystyle M,N,P}$.

Remarques :

• La définition reste valable pour les variétés banachiques.
• Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
• Si ${\displaystyle m+n<p}$, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée que si les sous-variétés ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont disjointes.

On a donc dans ce cas les relations

${\displaystyle \operatorname {dim} (M\cap N)=\operatorname {dim} (M)+\operatorname {dim} (N)-\operatorname {dim} (P).}$

${\displaystyle \operatorname {codim} (M\cap N)=\operatorname {codim} (M)+\operatorname {codim} (N).}$

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).