Théorèmes d'isomorphisme

Notons ${\displaystyle \cdot }$ les lois de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle G'}$, ainsi que ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle e'}$ leurs éléments neutres, et vérifions que ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ est stable par conjugaison, c'est-à-dire que ${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}$ pour tout ${\displaystyle x\in G}$ et tout ${\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}$.

On a ${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}$. Comme ${\displaystyle h}$ est dans ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle f(h)=e'}$, on en déduit que ${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}$. Ainsi, ${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}$ est dans ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ et ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ est donc un sous-groupe normal de ${\displaystyle G}$.

Notons ${\displaystyle H}$ le noyau de ${\displaystyle f}$. On définit ${\displaystyle {\hat {f}}}$ en posant

${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}$.

• La fonction ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ est bien définie, c'est-à-dire que ${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}$ ne dépend que de la classe ${\displaystyle xH}$ et pas du représentant particulier ${\displaystyle x}$. En effet, si ${\displaystyle y\in G}$ est un autre représentant de ${\displaystyle xH}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle xH=yH}$, alors ${\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}$ donc ${\displaystyle f(x)=f(y)}$, d'où ${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}$.
• Par définition de la loi de groupe quotient, ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ est un morphisme de groupes.
• Le morphisme ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ est surjectif : pour tout ${\displaystyle y\in f(G)}$, il existe ${\displaystyle x\in G}$ tel que ${\displaystyle f(x)=y}$ ; mais alors ${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}$.
• Le morphisme ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ est injectif. En effet, soit ${\displaystyle xH}$ un élément de son noyau. Alors ${\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle x}$ est dans le noyau ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle f}$. Mais alors ${\displaystyle xH=H}$, qui est l'élément neutre de ${\displaystyle G/H}$.

• Pour pouvoir parler du groupe ${\displaystyle HN/N}$, il faut d'abord montrer que ${\displaystyle HN}$ est un groupe et que ${\displaystyle N}$ en est un sous-groupe normal.

Soient ${\displaystyle hn}$ et ${\displaystyle h'n'}$ deux éléments de ${\displaystyle HN}$. On a ${\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}$, avec ${\displaystyle hh'\in H}$, ${\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}$ (puisque ${\displaystyle N}$ est normal dans ${\displaystyle G}$) et ${\displaystyle n'\in N}$, donc ${\displaystyle hnh'n'}$ est dans ${\displaystyle HN}$, ce qui montre que ${\displaystyle HN}$ est stable par multiplication. ${\displaystyle HN}$ est stable pour l'inversion car ${\displaystyle (hn)^{-1}=h^{-1}(hn^{-1}h^{-1})\in HN}$, et il contient ${\displaystyle e}$. On note que ${\displaystyle HN=NH}$ car ${\displaystyle nh=h(h^{-1}nh)\in HN}$ et ${\displaystyle hn=(hnh^{-1})h\in NH}$.

D'autre part, on a les inclusions de groupes ${\displaystyle N\subset HN\subset G}$, et ${\displaystyle N}$ est normal dans ${\displaystyle G}$, donc il est également normal dans ${\displaystyle HN}$.

• Pour établir l'isomorphisme, nous allons utiliser le premier théorème d'isomorphisme.

On dispose d'un morphisme injectif ${\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}$ définie par ${\displaystyle j(h)=h}$, et de la surjection canonique ${\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}$ (l'ensemble à l'arrivée est un groupe, puisque ${\displaystyle N}$ est normal dans ${\displaystyle G}$). En composant ces deux morphismes, on obtient un nouveau morphisme ${\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}$ défini par ${\displaystyle f(h)=hN}$.

• Le morphisme ${\displaystyle f}$ est surjectif.

En effet, soit ${\displaystyle (hn)N\in HN/N}$, avec ${\displaystyle h\in H}$ et ${\displaystyle n\in N}$. Puisque ${\displaystyle n}$ est dans ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle hnN=hN}$, donc ${\displaystyle hnN=f(h)}$.

• Le noyau de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle H\cap N}$.

En effet, ${\displaystyle f(h)=hN}$ est l'élément neutre ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle HN/N}$ si, et seulement si, ${\displaystyle h}$ est dans ${\displaystyle N}$. Comme ${\displaystyle h}$ est déjà dans ${\displaystyle H}$, cela revient à dire que ${\displaystyle h}$ est dans ${\displaystyle N\cap H}$.

• Le premier théorème d'isomorphisme assure alors que ${\displaystyle N\cap H}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle H}$, et que le morphisme induit ${\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}$ est un isomorphisme.

Le morphisme ${\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}$ est surjectif et de noyau ${\displaystyle N/M}$.