Théorème fondamental de la géométrie riemannienne

Soit (M,g) une variété riemannienne voire pseudo-riemannienne. Il existe une unique connexion ${\displaystyle \nabla }$ sur ${\displaystyle T_{x}M}$, appelée connexion de Levi-Civita, ou connexion canonique, et vérifiant les deux conditions :

1. la connexion ${\displaystyle \nabla }$ est sans torsion : pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$,${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ;
2. la connexion préserve le tenseur g : pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$, on a :

${\displaystyle Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)}$.

Selon les auteurs la deuxième propriété est qualifiée de façon différente : la connexion préserve la métrique[2], la connexion est métrique[3], le tenseur g est parallèle[4].

Une méthode de preuve classique consiste à suivre un schéma d'analyse-synthèse.

On peut établir l'unicité de la connexion de Levi-Civita et son expression, sous réserve d'existence. Voici le principe suivi : puisque la métrique est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, il suffit pour déterminer ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ de disposer d'une expression de ${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)}$ pour tout Z. On y arrive par de simples manipulations algébriques.

Comme g est parallèle pour la connexion de Levi-Civita, pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$, on a :

${\displaystyle X\cdot g(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$,

${\displaystyle Y\cdot g(Z,X)=g(\nabla _{Y}Z,X)+g(Z,\nabla _{Y}X)}$,

${\displaystyle Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)}$.

La somme des deux premières identités moins la troisième donne :

${\displaystyle X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Parce que la torsion est nulle, l'expression précédente se simplifie :

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)}$.

La connexion est alors uniquement déterminée par cette relation. Ce calcul présente aussi un intérêt pratique : il donne l'expression des symboles de Christoffel en fonction du tenseur métrique, c'est-à-dire l'expression de la connexion dans un système de coordonnées locales. Cependant les auteurs font souvent remarquer qu'une telle expression est en réalité moins utile que les propriétés caractéristiques énoncées dans le théorème[5].

Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur M, on définit le champ ${\displaystyle \scriptstyle \nabla _{X}Y}$ comme l'unique champ de vecteurs sur M vérifiant l'identité précédemment obtenue :

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)}$.

∇ est bien une connexion de Koszul. En effet, pour toutes fonctions f, on a :

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}(fY),Z)=X\cdot g(fY,Z)+(fY)\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,fY)+g([X,fY],Z)+g([Z,X],fY)-g([fY,Z],X)}$

${\displaystyle =df(X).g(Y,Z)-df(Z).g(X,Y)+df(X).g(Y,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle =2g(df(X).Y+f\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle 2g(\nabla _{fX}Y,Z)=(fX)\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,fX)-Z\cdot g(fX,Y)+g([fX,Y],Z)+g([Z,fX],Y)-g([Y,Z],fX)}$

${\displaystyle =df(Y).g(Z,X)-df(Z).g(X,Y)-df(Y).g(X,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle =2g(f\nabla _{X}Y,Z)}$.

∇ est bien sans torsion :

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)}$

${\displaystyle -Y\cdot g(X,Z)-X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)+g([X,Z],Y)}$

${\displaystyle =2g([X,Y],Z)}$.

Enfin, g est bien parallèle pour la connexion ∇ :

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)+2g(Y,\nabla _{X}Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)}$

${\displaystyle +X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-Y\cdot g(X,Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)}$

${\displaystyle =2X\cdot g(Y,Z)}$.

Ainsi, la connexion de Koszul ∇ vérifie toutes les conditions requises.

• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003 [détail de l’édition]
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]
• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002 [détail des éditions]
• Pierre Pansu, connexion de Levi-Civita

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