Théorème des trois cercles de Hadamard

Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert ${\displaystyle C=\{r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mid (r,\theta )\in ]r_{1},r_{2}[\times \mathbb {R} \}}$ et continue sur son adhérence ${\displaystyle {\overline {C}}}$.

On pose : ${\displaystyle M:r\mapsto \sup _{\theta }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|}$.

Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.

C'est-à-dire : ${\displaystyle \forall r\in ]r_{1},r_{2}[\quad \ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\ln M(r)\leq \ln \left({\frac {r_{2}}{r}}\right)\ln M(r_{1})+\ln \left({\frac {r}{r_{1}}}\right)\ln M(r_{2})}$.

De plus, si f(z) n'est pas de la forme A z^B, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.

Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard[1].

On pose ${\displaystyle g:z\mapsto f(\mathrm {e} ^{z})}$ et ${\displaystyle m:s\mapsto \sup _{|z|=\mathrm {e} ^{s}}|f(z)|}$.

On a donc : ${\displaystyle \forall s\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\quad m(s)=\sup _{\theta }|f(\mathrm {e} ^{s+\mathrm {i} \theta })|=\sup _{\theta }|g(s+\mathrm {i} \theta )|}$.

Or g est holomorphe sur ${\displaystyle B=\{x+\mathrm {i} y\mid (x,y)\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\times \mathbb {R} \}}$ et continue sur ${\displaystyle {\overline {B}}}$.

Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.

Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.

John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème[2] mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve[3].