Théorème de réarrangement de Riemann

Soit (u_n)_n∈ℕ une suite à termes réels dont la série associée est semi-convergente, c'est-à-dire que

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} \quad {\text{mais}}\quad \quad \sum _{k=0}^{+\infty }|u_{k}|=+\infty }$.

Alors, pour tout couple ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ tel que ${\displaystyle -\infty \leq \lambda \leq \mu \leq +\infty }$, il existe une permutation σ de ℕ telle que la suite ${\displaystyle (S'_{n})}$ des sommes partielles de la série de terme général ${\displaystyle u'_{n}=u_{\sigma (n)}}$ vérifie :

${\displaystyle \liminf S'_{n}=\lambda \quad {\text{et}}\quad \limsup S'_{n}=\mu }$[1].

En particulier, pour tout ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$, il existe une permutation σ de ℕ telle que

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\alpha }$.

Prenons l'exemple de la série harmonique alternée. On définit donc une suite (u_n)_n∈ℕ par

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n+1}},}$

dont la série converge d'après le critère de convergence des séries alternées, mais ne converge pas absolument car la série harmonique diverge. Notons ℓ sa somme (qui vaut  : ℓ = ln(2)).

En réarrangeant les termes, la série devient :

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots }$

${\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots \right)={\frac {\ell }{2}}.}$

Conclusion : la permutation choisie est telle que la nouvelle série (qui n'est alors plus la série harmonique alternée) converge vers la moitié de la somme de la série de départ.

En généralisant le procédé, on peut faire converger un réarrangement de cette série vers n'importe quel nombre réel α :

Par exemple en sommant alternativement (dans l'ordre) a termes positifs et b termes négatifs (la série alternée elle-même correspond à a = b = 1, et le cas précédent correspond à a = 1 et b = 2), on obtient une série qui converge vers ln(2√a/b), d'après le développement suivant, quand n tend vers l'infini, de la somme de p = an termes positifs et q = bn ou b(n – 1) termes négatifs, qui utilise un développement asymptotique de la suite H_n des sommes partielles de la série harmonique :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{2k-1}}-\sum _{k=1}^{q}{\frac {1}{2k}}&=\left(H_{2p}-{\frac {H_{p}}{2}}\right)-{\frac {H_{q}}{2}}\\&=\ln(2p)+\gamma -{\frac {\ln(p)+\gamma }{2}}-{\frac {\ln(q)+\gamma }{2}}+o(1)\\&=\ln(2{\sqrt {p/q}})+o(1)\\&{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ln(2{\sqrt {a/b}}).\end{aligned}}}$

Plus généralement, la somme du réarrangement aura pour valeur α = ln(2√r) en choisissant alternativement p_n termes positifs et q_n termes négatifs tels que p_n/q_n → r = e^2α/4.

On construit une permutation σ de ℕ de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs ou nuls (sans en omettre) jusqu'à dépasser α, puis tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à α. Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là où on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc.

Ernst Steinitz a démontré que pour toute série semi-convergente à termes dans un espace vectoriel réel de dimension finie, l'ensemble des sommes des « réarrangements » qui convergent forme un sous-espace affine de dimension non nulle.

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