Théorème de plongement de Nash

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et ${\displaystyle f}$ un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien ℝⁿ où n ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ de M dans ℝⁿ ayant les propriétés suivantes :

1. ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ est de classe C¹,
2. ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ est isométrique, i.e. pour tous vecteurs ${\displaystyle v,w}$ de l'espace tangent à M en un point ${\displaystyle x}$ on a ${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle }$ où < , > est le produit scalaire canonique de ℝⁿ.
3. ${\displaystyle |f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon }$ pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle M}$.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne compacte de dimension m admet un plongement isométrique de classe C¹ dans une boule arbitrairement petite de l'espace euclidien de dimension 2m.

Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C¹-plongée dans une boule arbitrairement petite de ℝ³ (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C³ ; la question est ouverte pour les plongements C²).

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe C^k avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=m(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte[1]) et un plongement injectif ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle M}$ dans ℝⁿ, également analytique ou de classe C^k, tel que pour tous vecteurs ${\displaystyle v,w}$ de l'espace tangent à M en un point ${\displaystyle x}$ on ait :

${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{x}(v),df_{x}(w)\rangle }$.

, dont les références étaient :

• (en) N. H. Kuiper, « On C¹-isometric imbeddings I », dans Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., vol. 58, 1955, p. 545–556
• (en) John Nash, « C¹-isometric imbeddings », dans Annals of Mathematics, vol. 60, 1954, p. 383–396
• (en) John Nash, « The imbedding problem for Riemannian manifolds », dans Annals of Mathematics, vol. 63, 1956, p. 20–63
• (en) John Nash, « Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data », dans Annals of Mathematics, vol. 84, 1966, p. 345–355

• Sujet de l'épreuve d'analyse du concours externe de l'agrégation de mathématiques de 1997
• Terence Tao, « Notes on the Nash embedding theorem », sur What's new, 11 mai 2015

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