Théorème de comparabilité cardinale

En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, le théorème de comparabilité cardinale énonce qu'entre deux ensembles, il existe forcément une injection de l'un dans l'autre. Autrement dit, pour deux ensembles A et B quelconques, il existe une injection de A dans B ou il existe une injection de B dans A.

On peut reformuler ce théorème de la façon suivante. Si l'on note A ≤ B la propriété « il existe une injection de l'ensemble A dans l'ensemble B », alors ≤ est un « ordre » (au sens large, c'est-à-dire sur une classe propre : celle de tous les ensembles). En effet le théorème de Cantor-Bernstein, qui ne nécessite pas l'axiome du choix, en assure l'antisymétrie. Le fait que cet ordre soit total, c'est-à-dire que pour deux ensembles A et B, on a au moins A ≤ B ou B ≤ A, est alors exactement l'énoncé du théorème de comparabilité cardinale.

Sa démonstration, elle, utilise nécessairement l'axiome du choix : ce théorème est même équivalent à l'axiome du choix. Il se déduit immédiatement du théorème de Zermelo et du théorème de comparaison entre bons ordres. Une démonstration directe repose sur le lemme de Zorn : le graphe d'une injection de A dans B ou de B dans A est donné par un élément maximal (au sens de l'inclusion) de l'ensemble (inductif) des graphes d'injections d'une partie de A dans une partie de B.

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