Théorème de Nagel

Il existe plusieurs théorèmes de Nagel, tous liés à la géométrie du triangle.

Ne pas confondre avec le théorème de Nagell-Lutz.

Théorème I
Soit ABC un triangle. Soit H son orthocentre et soit O le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Si l'angle est aigu alors il a la même bissectrice que l'angle .

Démonstration
Le triangle ABC n'a aucun angle obtus
Théorème de Nagel dans un triangle acutangle.

Le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H sont alors intérieurs au triangle ABC.

Soit β l'angle , qui est inscrit dans le cercle circonscrit (voir Figure A). est l'angle au centre correspondant de valeur 2β. Le triangle AOC est isocèle car OA et OC sont des rayons du cercle circonscrit. Les angles et sont égaux entre eux et à α = π/2 - β.

Soit I le pied de la hauteur issue de A. Le triangle ABI est rectangle et l'angle vaut π/2 - β = α.

La bissectrice de l'angle est donc aussi la bissectrice de l'angle qui est aussi l'angle , puisque l'orthocentre H est intérieur au segment AI. On notera que l'angle est nul lorsque les angles des sommets B et C du triangle ABC sont identiques, ce qui se produit si le triangle est équilatéral ou isocèle en A.

Le triangle ABC est rectangle

Le centre du cercle circonscrit O est le point milieu de l'hypoténuse, l'orthocentre H est le sommet de l'angle droit.

L'angle n'est pas défini si A est le sommet de l'angle droit et le théorème de Nagel ne s'applique pas à ce sommet.

Pour un autre sommet, les angles et sont identiques puisque AH et AO sont les deux côtés du triangle qui joignent A. Ils ont donc la même bissectrice.

Le triangle ABC a un angle obtus
Théorème de Nagel dans un triangle obtusangle, 1er cas
Théorème de Nagel dans un triangle obtusangle, 2e cas

Le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H sont alors tous deux extérieurs au triangle ABC.

Si A est un des deux sommets d'angle aigu (voir Figure B), la démonstration est similaire au cas du triangle sans angle obtus. La hauteur AI et le rayon AO sont ici des segments extérieurs au triangle. L'angle et l'angle sont identiques car l'orthocentre H est extérieur à la hauteur AI du côté du pied la hauteur.

Si l'angle en A est l'angle obtus (Voir Figure C) alors, toujours avec le même raisonnement, les angles et ont la même bissectrice. Toutefois, comme l'orthocentre H est ici extérieur au triangle mais du côté du sommet de la hauteur, la bissectrice de l'angle est la droite (D) qui forme un angle de π/2 avec la bissectrice de l'angle et le théorème de Nagel ne s'applique pas.

Conclusion

Sauf lorsque l'angle du sommet A considéré est droit, si l'on substitue l'orthocentre H par I le pied de la hauteur issue de A, alors les angles et ont toujours la même bissectrice.

Théorème III
Dans un triangle, les lignes qui joignent les pieds des hauteurs sont respectivement perpendiculaires aux rayons qui joignent les sommets avec le centre du cercle circonscrit[1].

Références
  1. M. Housel, « Démonstration du théorème III de M. Nagel », Nouvelles annales de mathématiques, 1re série, vol. 19,‎ , p. 438-440 (lire en ligne)

Article connexe
  • Portail de la géométrie
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.