Théorème de Mazur-Ulam
En analyse, le théorème de Mazur-Ulam caractérise les isométries bijectives entre espaces vectoriels normés réels. Il a été publié par Mazur et Ulam en 1932, en réponse à une question posée par Banach[1].
Énoncé
Théorème — Toute surjection isométrique F d'un espace vectoriel normé réel dans un autre telle que F(0) = 0 est additive (en), c’est-à-dire que F(x + y) = F(x) + F(y) pour tout x et y dans le domaine de F.
Il en résulte immédiatement[2],[3] que F est linéaire et que si l'on n'impose plus F(0) = 0, F est affine[4].
Remarques
L'injectivité de F est assurée par son caractère isométrique mais l'hypothèse de surjectivité est indispensable, à moins que l'espace d'arrivée soit strictement convexe[5].
La version complexe du théorème n'est pas valide : Jean Bourgain a démontré en 1986, par une méthode probabiliste, l'existence d'un espace de Banach complexe qui n'est même pas isomorphe, en tant que ℂ-espace vectoriel topologique, à son conjugué et Nigel Kalton (de) en a fourni un exemple explicite[6]. Ceci contraste avec le fait que deux espaces de Banach (ou même de Fréchet) sont homéomorphes dès qu'ils sont séparables ou plus généralement, dès qu'ils ont même densité[7].
Notes et références
- Mazur et Ulam 1932, note 1
- Mazur et Ulam 1932, note 2
- Bekka 2006, p. 2
- Bekka 2006, p. 4
- Baker 1971
- Kalton 1995
- Toruńczyk 1981
Bibliographie
- (en) J. A. Baker, « Isometries in normed spaces », Amer. Math. Month., vol. 78, , p. 655-658 (DOI 10.2307/2316577)
- Bachir Bekka, Isométries des espaces de Banach : Théorème de Mazur-Ulam, Université de Rennes I, , 5 p. (lire en ligne) (notes de préparation à l'agrégation de mathématiques)
- (en) N. J. Kalton, « An elementary example of a Banach space not isomorphic to its complex conjugate », Canad. Math. Bull., vol. 38, , p. 218-222, arXiv:math/9402207
- Stanisław Mazur et Stanislaw Ulam, « Sur les transformations isométriques d’espaces vectoriels normés », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Paris, vol. 194, , p. 946-948 (lire en ligne)
- (en) Henryk Toruńczyk, « Characterizing Hilbert space topology », Fund. Math., vol. 111, , p. 247-262 (lire en ligne)
