Théorème de Bolzano-Weierstrass

Un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.

Cet énoncé peut se décomposer en :

• Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :voir l'article « Espace dénombrablement compact ».
  • Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :voir l'article « Valeur d'adhérence ».
• L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$, X admet un recouvrement par un nombre fini de boules de rayon r, en effet, la compacité séquentielle implique l'impossibilité de l'existence d'une infinité de points distants deux à deux de plus de r.

Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque X est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ de X admet un sous-recouvrement dénombrable ${\displaystyle \left(V_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$. Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle, ${\displaystyle \left(V_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point ${\displaystyle x_{n}\notin \cup _{k<n}V_{k}}$, et la suite ${\displaystyle (x_{n})}$ n'aurait pas de valeur d'adhérence).

Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le lemme suivant, qui équivaut à l'existence de nombres de Lebesgue (de) d'un recouvrement.

Lemme[1] —  Si ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ est un recouvrement ouvert d'un espace métrique séquentiellement compact X, alors

${\displaystyle \exists r\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in X\quad \exists i(x)\in I\quad B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}}$,

c'est-à-dire qu'il existe des r > 0 tels que toute boule ouverte de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.

Soit X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact. Soit ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ un recouvrement ouvert de X et soit r fourni par le lemme. Par précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que ${\displaystyle X=\bigcup _{x\in Y}B\left(x,r\right)}$. On en déduit alors que la sous-famille finie ${\displaystyle \left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}}$ recouvre X.

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Cette propriété n'est que la partie facile du théorème (le « seulement si »), appliquée aux intervalles fermés bornés de ℝ, qui sont compacts d'après le théorème de Borel-Lebesgue. Elle s'applique de même aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie mais dans le cas réel, on peut en donner deux démonstrations plus directes :

• par extraction d'une sous-suite monotone : toute suite réelle x possède une sous-suite monotone y (cf. propriétés des sous-suites). Si x est bornée alors la sous-suite y aussi donc y est convergente, d'après le théorème de la limite monotone ;
• par dichotomie[2]^,[3]^,[4].