Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

Le dual topologique E', muni de la topologie faible-*, est un sous-espace du produit ℝ^E.

Dans ce produit, V° est inclus dans un produit de segments (car V est absorbant) donc dans un compact (d'après le théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie de l'axiome du choix).

Enfin, V° est fermé, comme intersection des fermés F_x,y,λ qui définissent la linéarité d'un élément de ℝ^E :

${\displaystyle F_{x,y,\lambda }=\{\ell \in \mathbb {R} ^{E}\mid \ell (\lambda x+y)=\lambda \ell (x)+\ell (y)\}\quad (x,y\in E,\lambda \in \mathbb {R} )}$

et des fermés G_v qui imposent les contraintes sur V :

${\displaystyle G_{v}=\{\ell \in \mathbb {R} ^{E}\mid |\ell (v)|\leq 1\}\quad (v\in V).}$

En effet, une forme linéaire sur E qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage V de 0.

Si un espace vectoriel normé E est séparable alors la boule unité B de son dual topologique (munie de la topologie faible-*) est métrisable donc sa compacité équivaut à sa compacité dénombrable et à sa compacité séquentielle. On peut démontrer directement cette dernière[1] de façon plus élémentaire : Soient (ℓ_n) une suite dans B, et D une partie dénombrable dense de E. Par le procédé diagonal de Cantor, on peut extraire de (ℓ_n) une sous-suite qui converge simplement sur D. Par équicontinuité, cette sous-suite converge alors simplement sur E tout entier (donc sa limite appartient à B). Si E n'est pas séparable, le compact B peut ne pas être séquentiellement compact : un contre-exemple est fourni par E = ℓ^∞ = C(βℕ).