Spirale logarithmique de Newton

Il est rare que les problèmes de dynamique s'intègrent. La solution donnée par Newton n'est pas générale.

Soit ${\displaystyle OM=r}$. Soit R le rayon de courbure, on a ${\displaystyle R={\frac {r}{\sin A}}}$.

Soit ${\displaystyle g(r)=-{\frac {k}{r^{n}}}}$ l'accélération centrale.

Soit ${\displaystyle -{\frac {Dv^{2}}{r}}}$ la résistance de l'air selon la tangente.

Dans le trièdre de Frenet, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

• ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}={\frac {v^{2}}{r}}\cos A=g\cos A}$. Soit ${\displaystyle v^{2}=gr}$ (1)
• ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-D{\frac {v^{2}}{r}}+g\sin A=g(\sin A-D)}$ (2)

On profite du fait que ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-v\sin A}$ (3) que l'on reporte dans la relation (1) différentiée logarithmiquement :

${\displaystyle 2{\frac {dv}{dt}}=g(n-1)\sin A}$

Comparée à (2), cela donne ${\displaystyle 2g(\sin A-D)=g(n-1)\sin A}$ , qui est identiquement vérifiée si et seulement si :

${\displaystyle 2D=(3-n)\sin A}$

ce qui donne la valeur de l'angle A de la spirale.

Le problème peut aussi se résoudre en utilisant l'accélération de Siacci, car la podaire de la spirale est semblable à la spirale.

La transmutation de la force de Newton donne aussi solution de ce problème.

On retrouve tous les résultats du satellite « circulaire » légèrement freiné, si n = 2 ${\displaystyle \sin A=2D}$ et ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-F_{\text{frein}}+2F_{\text{frein}}=F_{\text{frein}}}$ : un satellite freiné accélère exactement selon la loi opposée à l'intuition (paradoxe du frottement), mais c'est bien ce que donne la conservation de la puissance : ${\displaystyle F_{\text{frein}}v=-{\frac {dE}{dt}}=v{\frac {dv}{dt}}}$

Bien sûr, r diminue (il faut bien que l'énergie potentielle diminue 2 fois plus vite que l'énergie cinétique n'augmente).

Le cas n = 3 ne doit pas surprendre : la spirale logarithmique est solution du problème de force centrale ${\displaystyle -{\frac {k}{r^{3}}}}$.

La solution pour n différent de 2 se décline mot pour mot en changeant 2 par n : le théorème du viriel et la conservation de la puissance redonnent des résultats similaires.