Théorème du viriel

Tel qu'énoncé à l'origine par Rudolf Clausius, le théorème s'applique à un ensemble stable de particules de masse ${\displaystyle m}$ repérées par leurs positions ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et leurs vitesses ${\displaystyle {\vec {v}}}$, sur lesquelles s'exercent des forces ${\displaystyle {\vec {F}}}$. Il s'écrit :

${\displaystyle \sum {\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\sum {\overline {{\vec {r}}\cdot {\vec {F}}}}}$

où la barre désigne la moyenne temporelle des quantités correspondantes.

On en retient souvent le cas particulier suivant :

Ce résultat est une simple conséquence du principe fondamental de la dynamique, appliqué à un ensemble de masses en interaction gravitationnelle réciproque (problème à N corps).

L'énergie totale E = E_c + E_p vaut donc

${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}E_{p}=-E_{c}}$.

Hypothèse

Soit un système isolé de N corps massifs de masse constante, chaque corps ne subit donc que les seules forces gravitationnelles de ses voisins.

D’après la loi universelle de la gravitation, la force gravitationnelle exercée sur le corps i s’écrit :

${\displaystyle F_{i}=-\sum _{\overset {j}{j\neq i}}Gm_{i}m_{j}{\frac {r_{i}-r_{j}}{|r_{i}-r_{j}|^{3}}}}$

D’après le principe fondamental de la dynamique, cette même force gravitationnelle exercée sur le corps i s’écrit :

${\displaystyle F_{i}=m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}r_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$

On notera que la première expression fait intervenir la masse grave tandis que la seconde fait intervenir la masse inerte, le principe d'équivalence permettant cependant de les identifier.

En multipliant par ${\displaystyle r_{i}}$ et en sommant sur toutes les masses i, on trouve :

${\displaystyle -\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}Gm_{i}m_{j}{\frac {r_{i}(r_{i}-r_{j})}{|r_{i}-r_{j}|^{3}}}=\sum _{i}F_{i}r_{i}=\sum _{i}m_{i}r_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}r_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}\quad (1)}$

Par échange des indices muets, on a :

${\displaystyle \sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}Gm_{i}m_{j}{\frac {r_{i}(r_{i}-r_{j})}{|r_{i}-r_{j}|^{3}}}=\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}Gm_{i}m_{j}{\frac {r_{j}(r_{j}-r_{i})}{|r_{j}-r_{i}|^{3}}}}$

d’où :

${\displaystyle -\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}Gm_{i}m_{j}{\frac {r_{i}(r_{i}-r_{j})}{|r_{i}-r_{j}|^{3}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}Gm_{i}m_{j}\left({\frac {r_{i}(r_{i}-r_{j})}{|r_{i}-r_{j}|^{3}}}+{\frac {r_{j}(r_{j}-r_{i})}{|r_{j}-r_{i}|^{3}}}\right)=-{\frac {1}{2}}\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}Gm_{i}m_{j}{\frac {(r_{i}-r_{j})^{2}}{|r_{i}-r_{j}|^{3}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|r_{i}-r_{j}|}}\quad (2)}$

En calculant :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}(r_{i}^{2})}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(2r_{i}{\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=2\left({\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+2r_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}r_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$

il vient :

${\displaystyle r_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}r_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}(r_{i}^{2})}{\mathrm {d} t^{2}}}-\left({\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}$

d’où, en rappelant la constance de la masse par rapport au temps :

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}r_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}r_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}(r_{i}^{2})}{\mathrm {d} t^{2}}}-\sum _{i}m_{i}\left({\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\left(\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}\right)-\sum _{i}m_{i}\left({\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\quad (3)}$

En introduisant les égalités (2) et (3) dans (1), il vient :

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|r_{i}-r_{j}|}}+\sum _{i}m_{i}\left({\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\left(\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}\right)\quad (4)}$

On reconnaît dans cette équation :

• l’énergie potentielle gravitationnelle :

${\displaystyle E_{p}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\overset {i,j}{i\neq j}}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|r_{i}-r_{j}|}}}$

• l’énergie cinétique :

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}\left({\frac {\mathrm {d} r_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}$

• le moment d'inertie :

${\displaystyle I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$

L’équation (4) se réécrit donc :

${\displaystyle E_{p}+2E_{c}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} t^{2}}}}$

Faisons maintenant la valeur moyenne sur un intervalle de temps [t,t+Δt] des deux membres de cette équation :

${\displaystyle <E_{p}>+2<E_{c}>={\frac {1}{2\Delta t}}\int _{t}^{t+\Delta t}dt{\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t}^{t+\Delta t}dt{\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {r}}_{i}{\overrightarrow {v}}_{i}={\frac {1}{\Delta t}}[(\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {r}}_{i}{\overrightarrow {v}}_{i})_{t+\Delta t}-(\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {r}}_{i}{\overrightarrow {v}}_{i})_{t}]}$

Etant donné que la dimension du système reste bornée dans le temps ainsi que la vitesse de chacun des corps composant le système (faisant l'hypothèse que la distance entre deux corps est bornée inférieurement, à cause de leur dimensions spatiales et en l'absence de collision directe), les deux termes dans le crochet sont bornés. Le membre de droite tend donc vers zéro quand Δt tend vers l'infini. D'où le résultat.

Énoncé

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V\rangle }$

avec ${\displaystyle \langle T\rangle }$ correspond à la valeur moyenne de l'énergie cinétique

et ${\displaystyle \langle V\rangle }$ correspond à la valeur moyenne du potentiel s'exprimant ${\displaystyle V(x)=\lambda \cdot x^{n}}$

Démonstration

Montrons que ${\displaystyle \langle [H,XP]\rangle =0}$ :

${\displaystyle \langle [H,XP]\rangle =\langle \phi |HXP|\phi \rangle -\langle \phi |XPH|\phi \rangle }$

Or, ${\displaystyle H|\phi \rangle =E|\phi \rangle }$ et ${\displaystyle \langle \phi |H=E\langle \phi |}$

Ainsi ${\displaystyle \langle [H,XP]\rangle =E\langle \phi |XP|\phi \rangle -E\langle \phi |XP|\phi \rangle =0}$ (1)

Travaillons sur ${\displaystyle [H,XP]}$ :

${\displaystyle [H,XP]=HXP-XPH=HXP-XHP+XHP-XPH}$

Alors, ${\displaystyle [H,XP]=[H,X]P+X[H,P]}$ (2)

Exprimons ${\displaystyle [H,X]}$ et ${\displaystyle [H,P]}$ :

${\displaystyle [H,X]=-[X,H]={\frac {-[X,P^{2}]}{2m}}={\frac {-i\hbar \cdot P}{m}}}$

${\displaystyle [H,P]=[V(x),P]=i\hbar {\frac {\partial V}{\partial x}}}$ (3)

Revenons sur ${\displaystyle \langle [H,XP]\rangle =0}$ :

En utilisant (2), on trouve:

${\displaystyle 0=\langle [H,X]P\rangle +\langle X[H,P]\rangle }$

De même, en utilisant (3), on trouve

${\displaystyle \left\langle {\frac {P^{2}}{m}}\right\rangle =n\langle V\rangle }$

D'où le résultat espéré :

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V\rangle }$

De manière plus générale, le théorème du viriel est très utilisé en astrophysique[3]. Notamment, il peut être utilisé pour estimer la limite de Chandrasekhar sur la masse des naines blanches[4]^,[5].

Le théorème du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimées à partir des observations :

• E_c ~ ½MV²
• E_p ~ - GM²/2R

Le facteur 1/2 dans E_p provient du fait que pour un système de particules il faut éviter de compter deux fois l'énergie potentielle associée à un couple.

Il vient alors 2E_c = - E_p ⟺ M = 2RV²/G

Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité, on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible. Fritz Zwicky fut le premier à faire ce calcul et constata une différence considérable (facteur 10 à l'échelle des galaxies et facteur 100 à l'échelle des amas) entre les deux grandeurs, ce qui conduisit les astrophysiciens à supposer l'existence de matière noire, c'est-à-dire non détectable par les instruments. La seule autre explication possible serait que la loi de la gravitation n'est pas valable à grande échelle, mais aucune piste en ce sens n'a donné de résultat à ce jour.

On peut montrer que cette matière noire domine la masse des galaxies à l'extérieur de leur disque, dans le halo où elle s'étend jusqu'à 100-200 kiloparsecs (kpc) – contre 10-20 kpc pour la masse visible.