Spirale de Cotes

Si h est nul, le mouvement est rectiligne.

Dans le cas contraire, ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ est non nul. Le principe[5] consiste alors à déterminer l'expression de u = 1/r en fonction de θ en remplaçant ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ par hu² et en dérivant deux fois par rapport à θ . ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} r}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}} u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}=({\frac {\mu }{h^{2}}}-1)u}$ On obtient une équation différentielle linéaire d'ordre deux, homogène, dont les solutions dépendent du signe de ${\displaystyle \mu -h^{2}}$. En posant ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|{\frac {\mu }{h^{2}}}-1\right|}}}$, on distingue 3 cas :

1. si ${\displaystyle \mu >h^{2}}$, u s'exprime comme combinaison linéaire de fonctions exponentielles. L'orbite est alors une spirale de Poinsot. Sa forme (bornée, logarithme ou avec asymptote) dépend des conditions initiales ;
2. si ${\displaystyle \mu =h^{2}}$, u est fonction affine de θ , ce qui donne pour une fonction non constante une spirale hyperbolique, et pour une fonction constante un cercle ;
3. Si ${\displaystyle \mu <h^{2}}$, il existe A et φ tel que ${\displaystyle u=A\cos(\omega \theta +\varphi )}$ et l'orbite est un épi.

La conservation de l'énergie totale (énergie cinétique plus énergie potentielle) permet d'exprimer r² comme fonction du second degré en t [6]. On peut montrer ainsi que dans le cas où ${\displaystyle \mu -h^{2}\geq 0}$ et pour un mouvement non circulaire, le déplacement se fait dans un temps borné inférieurement, ou borné supérieurement ou, dans le cas d'une trajectoire de Poinsot bornée, dans un temps fini.