Spirale
En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.
Pour les articles homonymes, voir Spirale (homonymie).
Une spirale a nécessairement une infinité de spires distinctes.
Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane. Lorsqu'une spirale se développe en trois dimensions, on parle plutôt d'hélice.
Spirales à deux dimensions
Par équation polaire
Une spirale à deux dimensions se décrit facilement à l'aide de coordonnées polaires : le rayon r est donné par une fonction continue et monotone de l'angle θ. Le rayon polaire peut croître indéfiniment avec l'angle :
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spirale d'Archimède : . Le rayon est proportionnel à l'angle. La distance entre les spires est constante. On utilise des cames en forme de branches de spirales d'Archimède pour convertir une rotation en mouvement de translation uniforme[1]. |
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spirale logarithmique ou spirale de Bernoulli : . Le logarithme du rayon est proportionnel à l'angle . Elle est équiangle : en chaque point de la courbe l'angle entre la tangente et le rayon est constant. La spirale d'or est un cas particulier de spirale logarithmique |
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spirale de Fermat : . C'est un cas particulier de spirale parabolique. Elle partage le plan en deux régions connexes[2] et possède une symétrie centrale. Elle serait la courbe qui sépare le yin et yang dans le taijitu[3] quoiqu'en pratique des arcs de cercles sont généralement utilisés. |
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spirale de Galilée : . La trajectoire d'un corps en chute libre dans le plan de l'équateur rapporté à un référentiel terrestre est une portion de spirale de Galilée[4]. |
Il peut aussi tendre vers une limite finie ; dans ce dernier cas, la spirale est asymptote à un cercle.
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Le cercle en est alors un cas dégénéré. |
Le rayon peut aussi décroître avec l'angle.
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spirale hyperbolique : . La spirale est asymptote à une droite |
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lituus : . Elle a été étudiée par Roger Cotes. Cette courbe admet l'axe (Ox) comme asymptote. |
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clothoïde ou spirale d'Euler |
Par arcs de cercles
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spirale de Fibonacci, approximation de la spirale d'or construite avec une suite de Fibonacci |
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spirales à centre multiples composée de groupes d'arcs de cercle concentriques qui se connectent tangentiellement |
Autres classes de spirales
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développante du cercle |
Construction
Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par exemple pour la décoration de jardins : il suffit d'enrouler un cordeau attaché à un piquet planté au centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu, une pointe maintenue verticale et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale au fur et à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont évidemment d'autant plus écartées, que le piquet central est plus gros. On obtient une (approximation de) développante du cercle.
Approximations
La spirale de Théodore de Cyrène permet de construire géométriquement les racines carrées des entiers consécutifs.
Un spirangle (en) est une figure similaire à une spirale mais basée sur des segments.
Dans la nature
La spirale hélicoïdale (ou une structure moins visible mais spiralée), généralement construite selon la suite de Fibonacci, est fréquente dans le monde vivant.
Elle est bien connue et bien visible dans les formes de coquilles d'escargots, un peu moins voyante mais fréquente chez les végétaux, avec par exemple la disposition spiralée des graines du tournesol ou la structure du chou brocoli, ou encore de la pomme de pin ou encore dans la forme prise par les tiges en croissance de certaines plantes grimpantes. En botanique, la spirale est présente dans la disposition des graines du tournesol, ou dans le point d'insertion des feuilles sur la tige (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).
La spirale est également présente dans le monde animal (certains tissus musculaires) et dans le monde microscopique chez certaines bactéries. Les bactéries spiralées sont souvent pathogènes pour divers animaux et certaines le sont pour l'homme (ex spirochètes responsables de la syphilis, ou bactéries du genre Borrelia responsables de la maladie de Lyme, ou chez les Campylobacter [5], Campylobacter pyloridis responsables d'ulcères de l'estomac. Chez ces bactéries, la morphologie spiralée est souvent associée à une motilité particulière, adaptées au mucus[5] ou à d'autres environnements mucilo-gélatineux (ex : intérieur de l'œil pour certaines borrélies). La forme spiralée (en tire-bouchon) et une motilité particulière de ces organismes semblent leur donner un avantage sélectif dans les environnements visqueux et mucilagineux [5].
Dans des dimensions encore plus petites, l'ADN est lui-même spiralé (quand il n'est pas déroulé), mais il existe aussi chez les bactéries des ADN circulaires (en anneau).
Une galaxie spirale tire son nom de la forme selon laquelle leurs bras s'enroulent autour du centre
Technologie
La spirale possède des propriétés géométriques exploitées par plusieurs mécanismes créés par l'homme, par exemple le ressort spiral ou le disque microsillon.
Aspects culturels
Vocabulaire
En latin spira ou en grec ancien σπείρα / speira, ce mot désigne un enroulement.
Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.
En fiction
- La spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc.).
- Le Père Ubu d'Alfred Jarry porte sur le ventre une spirale appelée «gidouille».
- Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique, qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose. C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
- En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent — selon le contexte — la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.
- Un manga d'horreur One-shot de Junji Ito appelé Uzumaki (spirale en japonais) a pour thème l'obsession des spirales.
- La spirale est utilisée dans la série américaine Teen Wolf pour désigner la vengeance d'un loup-garou. Peter Hale l'utilise dans la saison 1 pour se venger de Kate Argent. Elle est également utilisée dans la saison 3A.
- Le sound system britannique Spiral Tribe doit son nom à l'un de ses fondateurs, Mark Harrison, fasciné par la symbolique de la spirale.
Notes et références
- http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html
- http://www.mathcurve.com/courbes2d/fermat/fermatspirale.shtml
- http://images.math.cnrs.fr/Le-Yin-et-le-Yang.html
- http://www.mathcurve.com/courbes2d/galilee/galilee.shtml
- Stuart L. Hazell, drian Lee, Lynette Brady et William Hennessy (1986), Campylobacter pyloridis and gastritis: association with intercellular spaces and adaptation to an Environment of Mucus as Important Factors in Colonization of the Gastric Epithelium ; Journal of Infectious disease (J Infect Dis), 153 (4): 658-663. doi: 10.1093/infdis/153.4.658 (résumé)
