Groupe quotient

Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. À partir d'un groupe G et d'un sous-groupe H de G, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que H soit stable par les automorphismes intérieurs de G, c'est-à-dire que les classes latérales droites soient égales aux classes latérales gauches (gH = Hg). Un tel sous-groupe est appelé sous-groupe normal ou sous-groupe distingué.

Partition d'un groupe en classes modulo un sous-groupe

Étant donné un élément g de G, nous définissons la classe à gauche gH = { gh | h ∈ H }. Comme g possède un élément symétrique, l'ensemble gH a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H ; les classes à gauche sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par g₁ ~ g₂ si et seulement si g₁^–1g₂ ∈ H. Le nombre de classes à gauche de H est appelé l'indice de H dans G et est noté [G:H]. Dans le cas d'un groupe fini, le théorème de Lagrange sur la cardinalité des sous-groupes, et la formule des classes permettent de voir que cet indice est fini et est un diviseur de l'ordre du groupe G.

Les classes à droite sont définies de manière analogue : Hg = { hg | h ∈ H }. Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur nombre est aussi égal à [G:H].

Définition

Si pour tout g ∈ G, gH = Hg, alors H est appelé un sous-groupe distingué ou normal ou invariant. Dans ce cas (et dans ce cas seulement), la loi de groupe de G est compatible avec ~, ce qui permet de définir une multiplication sur les classes par

(g_{1}H)\cdot (g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H.

Cela donne à l'ensemble quotient une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient de G par H (ou parfois groupe des facteurs) et est noté G/H. L'application f : G → G/H, g ↦ gH est alors un morphisme de groupes. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G/H, à savoir la classe eH = H. L'application f est appelée morphisme canonique ou projection canonique.

Les sous-quotients d'un groupe G sont par définition les quotients de sous-groupes de G. Les sous-groupes de quotients de G en font partie.

Exemples

Considérons l'ensemble ℤ des entiers relatifs et le sous-groupe 2ℤ constitué des entiers pairs. Alors le groupe quotient ℤ/2ℤ est constitué de deux éléments, représentant la classe des nombres pairs et la classe des nombres impairs.
L'ensemble ℝ des nombres réels, considéré comme groupe additif, et son sous-groupe 2 $π$ ℤ permettent de définir un groupe quotient utilisé pour la mesure des angles orientés.

Propriétés

G/G est un groupe trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.
Si {e} désigne le sous-groupe trivial de G, G/{e} est canoniquement isomorphe à G.
Si H est distingué, l'application de G dans G/H est un morphisme surjectif, appelé projection canonique de G sur G/H . Son noyau est H.
Plus généralement, si f : G → G' est un morphisme de groupes, il existe une suite exacte : G → G'→ G'/Imf → 1.
Si G est abélien, cyclique, nilpotent ou résoluble, il en sera de même pour G/H.
Le produit C₁∙C₂ de deux classes (défini ci-dessus en écrivant C_i sous la forme g_iH) coïncide avec l'ensemble des produits d'un élément de C₁ par un élément de C₂.
G/H est abélien si, et seulement si, H contient tous les éléments de la forme xyx^-1y^-1, où x,y appartiennent à G[1], autrement dit tous les commutateurs de G.

Factorisation des morphismes

On peut caractériser les groupes quotients par la propriété fondamentale suivante :

Soit f : G → G' un morphisme de groupes. Soit H le noyau de f. Alors H est distingué et f se « factorise » en un morphisme injectif f : G/H → G' tel que f ∘ p = f, où p est la projection de G sur G/H.

Histoire

D'après Bourbaki, c'est chez Jordan que la notion de groupe quotient apparaît pour la première fois[2].

L'expression « quotient des groupes G et H » a été introduite en 1889 par Otto Hölder, qui proposait la notation G|H [3].

Notes et références

Serge Lang (traduction de Braemer et Richard), Structures algébriques, Paris, InterEditions, 1976, p.34, Lang se sert ici de cette propriété pour montrer que Sn n'est pas résoluble pour n>4
N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.164. Voir aussi Dirk Schlimm, « On Abstraction and the Importance of Asking the Right Research Questions: Could Jordan Have Proved the Jordan-Hölder Theorem ? », Erkenntnis, vol. 68, No. 3, mai 2008, pp. 409-420, sommaire consultable sur JSTOR, selon qui Jordan utilise la notion de groupe quotient dans un article de 1873.
(de) O. Hölder, « Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen) », Math. Ann.,‎ 1889, p. 31, consultable sur le site de l'université de Göttingen. (Référence donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Dover, 1911 (réimpr. 2004), p. 39))

Articles connexes

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[1] Serge Lang (traduction de Braemer et Richard), Structures algébriques, Paris, InterEditions, 1976, p.34, Lang se sert ici de cette propriété pour montrer que Sn n'est pas résoluble pour n>4

[2] N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.164. Voir aussi Dirk Schlimm, « On Abstraction and the Importance of Asking the Right Research Questions: Could Jordan Have Proved the Jordan-Hölder Theorem ? », Erkenntnis, vol. 68, No. 3, mai 2008, pp. 409-420, sommaire consultable sur JSTOR, selon qui Jordan utilise la notion de groupe quotient dans un article de 1873.

[3] (de) O. Hölder, « Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Zur Reduction der algebraischen Gleichungen) », Math. Ann.,‎ 1889, p. 31, consultable sur le site de l'université de Göttingen. (Référence donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Dover, 1911 (réimpr. 2004), p. 39))