Somme d'ensembles

En algèbre, dans un demi-groupe M dont l'opération est notée additivement, la somme A + B de deux sous-ensembles A et B est l'ensemble

${\displaystyle A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}.}$

Cette opération munit l'ensemble des parties de M d'une structure de demi-groupe dans lequel l'ensemble vide est absorbant. Si M possède un élément neutre 0, alors le singleton {0} est l'élément neutre pour l'opération induite.

C'est cette notion qui est utilisée dans les ensembles sans somme et la conjecture de Cameron-Erdős.

C'est aussi cette notion qui intervient en algèbre linéaire, sous le nom de somme de Minkowski ou de somme de deux sous-espaces vectoriels.

On définit de même A₁ + … + A_n. Lorsque les A_k sont tous égaux à un même ensemble A, cette somme est notée nA dès que le contexte dissipe toute confusion avec l'image de A par l'homothétie de rapport n.

En théorie additive des nombres, la somme A ⊕ B de deux ensembles d'entiers naturels A et B est définie[1] comme l'ensemble de toutes les sommes d'un élément de A avec un élément de B, en même temps que les éléments de A et de B, c'est-à-dire :

${\displaystyle A\oplus B=(A+B)\cup A\cup B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}\cup A\cup B.}$

Si 0 appartient à la fois à A et B, alors A ⊕ B coïncide avec A + B.

Cette notion est employée notamment dans la densité de Schnirelmann et dans l'énoncé du théorème des quatre carrés de Lagrange.

• Somme restreinte d'ensembles
• Suite de Sidon
• Théorème de Steinhaus

• Portail des mathématiques