Schéma (géométrie algébrique)

Si ${\displaystyle X}$ est un schéma, un sous-schéma ouvert de ${\displaystyle X}$ est un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$ muni du faisceau ${\displaystyle O_{X}|_{U}}$. C'est un espace localement annelé, et en fait un schéma. Tout ouvert de ${\displaystyle X}$ est toujours muni de cette structure de sous-schéma ouvert.

Un schéma affine ${\displaystyle {\rm {Spec}}\ A}$ est dit noethérien si ${\displaystyle A}$ est un anneau noethérien.

Un schéma noethérien est un schéma qui est réunion finie d'ouverts affines noethériens.

Un schéma localement noethérien est un schéma dont tout point possède un voisinage ouvert affine noethérien.

Un schéma réduit est un schéma tel que l'anneau ${\displaystyle O_{X}(U)}$ soit réduit (i.e. sans élément nilpotent non nul) pour tout ouvert ${\displaystyle U}$.

On dit que ${\displaystyle X}$ est irréductible (resp. connexe) si l'espace topologique sous-jacent vérifie cette propriété.

On dit que ${\displaystyle X}$ est intègre s'il est irréductible et réduit. Cela revient à dire que l'anneau ${\displaystyle O_{X}(U)}$ est intègre pour tout ouvert ${\displaystyle U}$.

Un schéma régulier est un schéma localement noethérien ${\displaystyle X}$ tel que ses anneaux locaux ${\displaystyle O_{X,x}}$ sont réguliers en tout point ${\displaystyle x}$.

Un morphisme de schémas ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ entre deux schémas est simplement un morphisme en tant qu'espaces localement annelés.

Un morphisme de schémas ${\displaystyle f\colon X\to {\rm {Spec}}\ A}$ induit via le morphisme de faisceaux ${\displaystyle O_{{\rm {Spec}}\ A}\to f_{*}O_{X}}$ un homomorphisme d'anneaux ${\displaystyle A\to O_{X}(X)}$.

Un morphisme affine est un morphisme f tel que pour tout ouvert affine V de Y, l'image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ soit affine. On montre qu'il suffit pour cela que Y soit recouvert par des ouverts affines ${\displaystyle V_{i}}$ dont les images réciproques dans X soient affines.

Un morphisme fini est un morphisme affine f comme ci-dessus tel que de plus ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ soit fini sur ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$ en tant que module. Il suffit que cette propriété soit vérifiée pour un recouvrement affine particulier de Y.

On fixe un schéma ${\displaystyle S}$. Un ${\displaystyle S}$-schéma est un schéma ${\displaystyle X}$ muni d'un morphisme de schémas ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$, lequel morphisme est appelé le morphisme structural du ${\displaystyle S}$-schéma, et ${\displaystyle S}$ est appelé schéma de base. Dans les notations, on omet souvent le morphisme structural. Lorsque ${\displaystyle S}$ est un schéma affine d'anneau ${\displaystyle A}$, on parle aussi de ${\displaystyle A}$-schéma au lieu de ${\displaystyle S}$-schéma.

Tout schéma est, de façon unique, un ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$-schéma. Cela vient du fait qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux de ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ dans un anneau donné.

Si ${\displaystyle X,Y}$ sont des ${\displaystyle S}$-schémas, un morphisme de ${\displaystyle S}$-schémas de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ est un morphisme de schémas ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ qui est compatible avec les morphismes structuraux : ${\displaystyle \pi _{Y}f=\pi _{X}}$.

Les ${\displaystyle S}$-schémas et les morphismes de ${\displaystyle S}$-schémas forment une catégorie, appelée la catégorie des ${\displaystyle S}$-schémas, souvent notée ${\displaystyle {\rm {Sch}}_{S}}$.