Mouvement circulaire uniforme

On se place dans le cas d'un mouvement dans le plan (x, y).

Considérons un point matériel M ayant un mouvement circulaire uniforme de centre O(0, 0), de rayon r et de vitesse v. Le point M a une vitesse angulaire ω constante, on peut donc en déduire l'expression de l'angle formé par le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}$ et l'axe (Ox) en fonction du temps :

${\displaystyle \theta (t)=\omega t+\theta _{0}}$

où θ₀ est l'angle initial.

On en déduit alors les coordonnées du point M en fonction du temps :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}x_{\mathrm {M} }(t)&=&r\cdot \cos(\omega t+\theta _{0})\\y_{\mathrm {M} }(t)&=&r\cdot \sin(\omega t+\theta _{0})\end{array}}\right.}$

d'où l'on déduit les composantes x et y du vecteur accélération ${\displaystyle {\vec {a}}}$ en dérivant deux fois par rapport au temps :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}a_{x}(t)&=&-r\omega ^{2}\cdot \cos(\omega t+\theta _{0})\\a_{y}(t)&=&-r\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\theta _{0}).\end{array}}\right.}$

On remarque alors :

${\displaystyle {\vec {a}}=-\omega ^{2}{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}$

donc l'accélération tangentielle est nulle :

${\displaystyle a_{t}=0}$

et l'accélération normale a_n (ou accélération centripète) est égale à la norme de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ :

${\displaystyle a_{n}=\|{\vec {a}}\|={\sqrt {(-r\omega ^{2}\cdot \cos(\omega t+\theta _{0}))^{2}+(-r\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\theta _{0}))^{2}}}=r\omega ^{2}}$.

Or, on peut obtenir la valeur de la vitesse en fonction de la période de révolution T :

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{\mathrm {T} }}}$

ainsi que la valeur de la vitesse angulaire :

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}={\frac {2\pi }{\frac {2\pi r}{v}}}={\frac {v}{r}}}$.

On a alors la valeur de l'accélération normale :

${\displaystyle a_{n}=r{\frac {v^{2}}{r^{2}}}={\frac {v^{2}}{r}}}$.