Rhéologie des solides

La pression sur un cylindre change sa section S. On considère en général cette variation comme négligeable.

En physique, l'effort exercé sur une pièce est représenté par la force ${\displaystyle F}$, exprimée en newtons (N). La variation dimensionnelle est une longueur, exprimée en mètres.

Cependant, ceci dépend de la forme de la pièce. Si l'on s'intéresse aux propriétés du matériau, il faut s'abstraire des dimensions de la pièce. On caractérise donc l'effort par la contrainte et la variation dimensionnelle par la déformation.

Contrainte

Si ${\displaystyle S}$ est la surface sur laquelle s'exerce la force ${\displaystyle F}$, on définit la contrainte ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={F \over S}}$.

La surface dépend de la déformation, mais pour les petites déformations, ceci est souvent négligé.

Déformation

Si ${\displaystyle L_{0}}$ est la longueur initiale de la pièce, alors la déformation ${\displaystyle \varepsilon }$ est l'allongement relatif (sans unité).

${\displaystyle \varepsilon =\ln {L \over L_{0}}=\ln {(L_{0}+\Delta L) \over L_{0}}=\ln {(1+{\frac {\Delta L}{L_{0}}})}}$

Si la contrainte est faible alors la déformation est faible, donc :

${\displaystyle \varepsilon ={\Delta L \over L_{0}}}$.

Schéma du cisaillement d'un solide

La compression est la même sur chaque face du solide.

Lors de son utilisation, une pièce peut se déformer de manière complexe. Pour permettre l'étude, on considère des déformations modèles simples.

Ces déformations simples permettent de définir des caractéristiques chiffrées du matériau.

Traction uniaxiale/Compression

module de Young, noté ${\displaystyle E_{c}}$ et exprimé en pascals (Pa) ou plus couramment en MPa ou GPa.

${\displaystyle E_{c}={\sigma \over \varepsilon }}$

Lors d'un étirement ou d'un raccourcissement, on constate un élargissement ou une contraction de la pièce, caractérisée par le coefficient de Poisson ${\displaystyle \nu }$ (sans unité).

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\Delta V}{\varepsilon }}\right)\leq 0,5}$

Si ${\displaystyle \nu =0,5}$, alors ${\displaystyle \Delta V}$ est faible par rapport à ${\displaystyle \varepsilon }$ ; exemples de valeur de coefficient de Poisson :

• ${\displaystyle \nu =0,5}$ : liquide ;
• ${\displaystyle \nu =0,5}$ : caoutchouc ;
• ${\displaystyle \nu =0,2-0,35}$ : verre, polymère solide.

Cisaillement

module de cisaillement, noté ${\displaystyle G}$ :

${\displaystyle G={\tau \over \gamma }={F_{/AB} \over \Delta L/L}}$

complaisance de cisaillement, notée ${\displaystyle J}$ :

${\displaystyle J={1 \over G}}$.

Flexion

combinaison de traction, compression et cisaillement.

Compression isostatique (ou hydrostatique)

module de compressibilité (bulk modulus) noté ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle B}$ en anglais) :

${\displaystyle K={P \over \Delta V/V_{0}}}$.

On a donc quatre coefficients ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle \nu }$, et deux relations. On peut alors écrire :

${\displaystyle E=2.(1+\nu ).G}$

${\displaystyle E={9.K.G \over {3.K+G}}}$.

• Essais statiques
  • ${\displaystyle \sigma ={\rm {Cte}}}$ : fluage
  • ${\displaystyle \varepsilon ={\rm {Cte}}}$ : relaxation de contrainte
  • ${\displaystyle {\Delta L \over \Delta t}={\rm {Cte}}}$ : traction.

• Essais dynamiques : ${\displaystyle \sigma ,\varepsilon }$ varient en fonction du temps (ou de la fréquence).

Principe de Boltzmann : chaque nouvelle contrainte contribue de façon indépendante à la déformation finale.

Selon Ludwig Boltzmann, l'état de contrainte ou de déformation d'un corps viscoélastique est fonction de toutes les sollicitations appliquées au matériau.

Chaque nouvelle sollicitation contribue de manière indépendante à l'état final.

• La réversibilité entre contrainte et déformation est parfaite (il n'y a pas d'effet mémoire du matériau).
• Les relations entre contrainte et déformation sont instantanées.
• Les relations entre contrainte et déformation sont linéaires.

${\displaystyle \sigma =k\varepsilon }$

Le matériau peut être modélisé en mécanique par un ressort. Il n'y a aucune dissipation d'énergie. En régime dynamique, l'angle de phase entre la contrainte dynamique et la déformation dynamique du corps soumis à une oscillation sinusoïdale est de 0°.

${\displaystyle \sigma =\eta {\mathrm {d} \varepsilon \over \mathrm {d} t}=\eta {\dot {\varepsilon }}}$

où ${\displaystyle \eta }$ est la constante de Newton.

On a alors ${\displaystyle \varepsilon ={\tau _{0} \over \eta }t+\varepsilon _{0}}$, ici ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ représente la déformation initiale, donc nulle.

On obtient alors ${\displaystyle \varepsilon ={\tau _{0} \over \eta }t}$.

L'énergie mécanique est totalement dissipée (sous forme de chaleur). Le modèle équivalent en mécanique est celui d'un amortisseur. En régime dynamique, l'angle de phase entre la contrainte dynamique et la déformation dynamique du corps soumis à une oscillation sinusoïdale est de 90°.

Afin de représenter le comportement viscoélastique d'un matériau, on peut combiner ces deux modèles élémentaires.

Le modèle de Maxwell rend compte du comportement viscoélastique d'un matériau mais pas de son comportement viscoplastique.

• à ${\displaystyle t=t_{1}^{-}}$, ${\displaystyle \varepsilon =\sigma _{0}\left({t_{1} \over \eta }+{1 \over k}\right)}$
• à ${\displaystyle t=t_{1}^{+}}$, ${\displaystyle \varepsilon =\sigma _{0}\left({t_{1} \over \eta }+{1 \over k}\right)-{\sigma _{0} \over k}={\sigma _{0} \over \eta }t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon (t)=\sigma _{0}\left({1 \over k_{2}}+{t \over \eta _{2}}\right)+{\sigma _{0} \over k_{1}}+\sigma _{0}\left(1-e^{-t \over \tau }\right)}$avec ${\displaystyle \tau ={\eta _{1} \over k_{1}}}$

Dans ce modèle on a les trois composantes :

• élastique avec ${\displaystyle {\sigma _{0} \over k_{2}}}$ ;
• viscoélastique avec ${\displaystyle \sigma _{0}{t \over \eta _{2}}}$ ;
• viscoplastique avec ${\displaystyle \sigma _{0}\left(1-e^{-t \over \tau }\right)}$.